ГВЕЛЕСИАНИ,ШЕЛОНИН-Основные особенности и параметры зонной структуры полупроводников (2010)

Рекомендуемая литература

1.Шалимова К.В. Физика полупроводников. Учебник для ВУЗов. М.: Энергоатомиздат, 1985 – 392с.

2.Фистуль В.И. Введение в физику полупроводников. Учебное пособие. М.: Высш. шк., 1984 – 352с.

3.Займан Дж. Принципы теории твердого тела. Пер. с

англ. М.: Мир, 1966 – 416с.

4.Ормонт Б.Ф. Введение в физическую химию и кристаллохимию полупроводников. М.: Высш. шк., 1968 – 488с.

5.Киреев П.С. Физика полупроводников. Учебное пособие для ВУЗов. М.: Высш. шк., 1975 – 584с.

6.Постников В.С. Физика и химия твердого состояния. Учебник для ВУЗов. М.: Металлургия, 1978 – 544с.

7.Зеегер К. Физика полупроводников. Пер. с англ. М.:

Мир, 1977 – 615с.

8.Горбачев В.В., Спицина Л.Г. Физика металлов и полупроводников. Учебное пособие. М.: Металлургия, 1976 – 368с.

9.Фистуль В.И. Физика и химия твердого тела. Ч. I. Учебник для ВУЗов. М: Металлургия 1995 – 320с.

10.Росадо Л. Физическая электроника и микроэлектроника. Пер с испан. Учебное пособие для ВУЗов. М.: Высш. шк., 1991 – 351с.

70

4

проводимости и валентной зоны) различают узкозонные и широкозонные полупроводники.

16. Различие в свойствах идеализированных (с идеальной кристаллической структурой) собственных полупроводников главным образом связано:

–с природой химической связи и типом кристаллической структуры;

–с особенностями зонной структуры (прямозонная, непрямозонная);

–с величинами запрещенных зон и эффективных масс электронов и дырок;

–с наличием в зонной структуре второго минимума энергии в зоне проводимости, разделенного небольшим интервалом энергии с абсолютным минимумом.

69

прямозонного полупроводника уравнением сферы, непрямозонного полупроводника – уравнением эллипсоида вращения.

8.Чем больше величина объемного обменного интеграла энергии, тем больше ширина разрешенных зон энергии и тем меньше величина запрещенных зон.

9.Чем больше энергия дискретного уровня атома, тем шире образованная из него энергетическая зона и тем меньше запрещенная зона.

10.Эффективные массы электронов и дырок обратно пропорциональны величине обменного интеграла энергии и постоянной кристаллической решетки в квадрате.

11.В общем случае эффективная масса электронов является тензорной величиной, откуда деление эффективных масс квазисвободных электронов на продольные и поперечные.

12.Эффективные массы дырок – скалярные величины, но в валентной зоне полупроводников существуют два сорта дырок с разной величиной эффективных масс – тяжелых и легких, что связано с разной кривизной двух подзон с общим экстремумом энергии.

13.Для большинства полупроводников, имеющих алмазоподобную кристаллическую решетку, зонную структуру строят в направлениях волновых векторов вдоль осей <100> и <111>.

14.По особенностям зонной структуры (расположению абсолютного экстремума зоны проводимости относительно центра симметрии) полупроводники классифицируют на прямозонные и непрямозонные. Соответственно, различают прямые и непрямые запрещенные зоны.

15.По величине минимальной запрещенной зоны (интервал между абсолютными экстремумами зоны

68

Введение

Зонную структуру твердого тела описывают через энергию электрона в функции его волнового вектора

E kx,ky,kz .

Волновое число k является основным квантовым числом, определяющим состояние системы электронов в

фундаментальное значение и определяет свойства твердых тел.

Значения k , в пространстве волновых векторов, ограничены размерами зон Бриллюэна. На границах зон Бриллюэна энергия электронов испытывает разрыв, вследствие чего энергетический спектр электронов в кристалле представляет собой чередование разрешенных и запрещенных зон энергии, т.е. имеет зонный характер. Таким образом, движение электронов в кристалле ограничено

размерами энергетической зоны в k -пространстве.

Для полного описания всей совокупности энергетических состояний электронов в кристалле, область

значений k достаточно ограничить элементарной ячейкой обратной решетки, т.е. одной (первой) зоной Бриллюэна.

Совокупность электронных уровней энергии,

описываемых функцией En k и ограниченных значениями k

называется энергетической зоной (n-номер зоны). Внутри зоны волновой вектор изменяется квазинепрерывно и определяет квазинепрерывный спектр состояний электронов в зонах. Таким образом, энергетическая зона состоит из подуровней энергии, а их количество равно количеству атомов N в единице объема кристалла. Интервалы между подуровнями ничтожно малы ~10-22 эВ.

5

На каждом подуровне энергии находится не более 2-х электронов с разной ориентацией спина, а количество электронов в зоне равно 2N или 2gN, где g-фактор вырождения, равный для s-состояний электронов 1, а для p- состояний 3-м.

Внутри энергетической зоны изменение энергии электрона описывается функцией E k , характер зависимости которой вытекает из закона дисперсии электронов в кристалле. Такое название закона связано с волновым представлением об электроне, а именно с зависимостью частоты электронной волны от ее волнового вектора.

В настоящем учебном пособии рассматриваются зонные структуры идеализированных полупроводников, для которых кристаллическая структура считается идеальной, а потенциальное поле кристаллов строго периодическим.

6

Заключение

1. Зонную структуру полупроводников описывают функцией E k , которая изменяется квазинепрерывно в пределах энергетических зон обратной решетки и испытывает

разрывы при значениях волновых векторов электронов a

для одномерной и 2 для трехмерной обратной решетки. a

2.Обратная кристаллическая решетка строится в пространстве волновых чисел электронов и обладает всеми свойствами симметрии кристаллической решетки.

3.Трехмерную зонную структуру полупроводников с алмазоподобной кристаллической структурой, строят как элементарную ячейку Вигнера-Зейтца обратной Г.Ц.К. решетки, которая имеет форму кубоктаэдра.

4.Физической причиной образования зонного энергетического спектра электронов в кристалле является Вульф-Брегговское отражение и интерференция электронных волн.

5.Энергия квазисвободного электрона, движущегося в кристалле, ограничена пределами разрешенных зон энергии в

k-пространстве.

6.Закон дисперсии электронов в кристалле в окрестности абсолютных экстремумов зон для одномерного

k -пространства носит параболический характер, а коэффициентом пропорциональности между энергией и волновым вектором является эффективная масса электрона (дырки).

7. Законы дисперсии электронов в окрестности

абсолютных минимумов зон проводимости трехмерного k -

Рис.7.10. Одномерная зонная структура антимонида индия.

В валентной зоне, в области экстремумов подзон тяжелых и легких дырок, отщепленной подзоны, изоэнергетические поверхности – сферы. Эффективная масса плотности состояний для дырок mdp 0.6m0 , которая по

величине совпадает с эффективной массой тяжелых дырок.

66

1. Закон дисперсии свободных электронов в вакууме

Для свободного электрона в вакууме закон дисперсии записывается как:

2 – коэффициент пропорциональности между энергией и

2m0

импульсом электрона.

Электрон в вакууме движется неограниченно и обладает только кинетической энергией. Согласно де Бройлю электрону, движущемуся со скоростью v , соответствует волна, длина которой:

Так как длину волны можно выразить через волновое число k :

откуда импульс свободного электрона: pi ki .

Тогда закон дисперсии запишется как:

Согласно формулам (1.1 и 1.2) закон дисперсии электрона в вакууме имеет параболический характер, его удобно изображать графически. Можно фиксировать 2 из 3-х

компонент ki , тогда зависимость (1.1) есть парабола на плоскости E kx , E ky , E kz .

7

Рис.1.1. Зависимость E kx для электрона, движущегося в вакууме.

2. Закон дисперсии электронов, движущихся в кристалле

Ограничимся рассмотрением движения электрона в периодическом потенциальном поле простой кубической решетки, в которой каждый атом окружен шестью ближайшими атомами (Zk=6).

В кристалле электрон движется в периодическом потенциальном поле, замедляя (между атомами) или ускоряя (в области атомов) свое движение, его амплитуда изменяется с периодом кристаллической решетки (а).

Для электрона, движущегося в кристалле, можно ввести величину p k , называемую квазиимпульсом. Квазиимпульс, в отличие от импульса электрона в вакууме, изменяется, также как и волновой вектор, квазинепрерывно. Электрон в кристалле обладает и кинетической и потенциальной энергией, последняя связана с усредненным зарядом атомных ядер и электронов.

8

7.4. Зонная структура антимонида индия.

Антимонид индия InSb – типичный узкозонный, прямозонный полупроводник. Структурный тип и первая зона Бриллюэна такие же, как и у арсенида галлия. Доля ионной составляющей связи значительно меньше, чем у арсенида галлия.

Зонная структура строится в направлениях кристаллографических осей <100> и <111> (рис.7.10).

Основные особенности: небольшая величина прямой запрященной зоны, при 0 К Eg 0.24 эВ, при 300 К

Eg 0.18 эВ; сильная кривизна зоны проводимости в области

минимума энергии, вследствие чего очень малы эффективная масса электронов и плотность квантовых состояний в зоне проводимости; большая концентрация собственных носителей заряда, при 300 К ni 1016 см-3. Кроме того,

большое различие между эффективными массами электронов

дырок mpT 50, где mp 0.012m0 . mpЛ Л

Изоэнергетическая поверхность в области минимума энергии зоны проводимости – сфера.

Вследствие малой величины эффективной массы электронов, а также небольшой доли ионной связи, антимонид индия отличает очень высокая подвижность электронов un 78000 см2/В·с.

65

Рис.7.9. а – фрагмент зонной структуры арсенида галлия в направлении <100> (Δ);

б – зависимость дрейфовой скорости и плотности тока от напряженности сильного электрического поля

для арсенида галлия.

Зависимость дрейфовой скорости и плотности тока от напряженности сильного электрического поля будет иметь вид, представленный на рис.7.9.б.

0 – соответствует полю, при котором электроны

начинают заполнять второй минимум энергии.

На зависимости дрейфовой скорости от напряженности поля наблюдается участок с отрицательной дифференциальной подвижностью. На основе эффекта Ганна были созданы высокочастотные диоды Ганна.

64

Для получения закона дисперсии электрона в кристалле решают уравнение Шредингера в приближениях сильно связанных электронов или квазисвободных электронов. Оба приближения дают представления об общих закономерностях движения электрона в периодическом потенциальном поле кристалла. Приближение сильно связанных электронов дает более наглядное представление о физических свойствах полупроводников и позволяет

установить общий характер зависимости E k .

В приближении сильно связанных электронов решение уравнения Шредингера дает закон дисперсии электронов в кристалле в следующем виде:

g

где Ea – дискретный уровень энергии атома; С – величина сдвига уровня Ea за счет кулоновского взаимодействия

электронов и ядер; g – номер узла кристаллической решетки; q – вектор, соединяющий соседние атомы.

A q gWr gdV – объемный обменный интеграл

V

энергии, характеризующий обменную энергию взаимодействия атомов по всему объему кристалла. V – объем кристалла; g – волновая функция электрона в g-атоме; g –

волновая функция электрона, комплексно сопряженная с g ;

Wr – энергия возмущения электрона в кристалле, равная разности потенциальных энергий электрона в кристалле и в изолированном атоме и имеет отрицательный знак.

Третий член уравнения (2.1) характеризует обменное взаимодействие между парой атомов, находящихся на расстоянии q один от другого.

9

При сближении атомов перекрываются электронные оболочки (волновые функции) соседних атомов и электроны могут без изменения энергии, путем последовательных обменов соседних атомов переходить от атома к атому. Из-за обменного взаимодействия валентные электроны становятся общими (электрон пребывает на атоме ~10-15 с), уровень энергии Ea опускается на величину C и расщепляется на подуровни энергии, из которых формируется энергетическая зона, ширина которой зависит от величины A q .

Рис. 2.1. Расщепление дискретного уровня энергии Ea атома на подуровни энергии в процессе образования кристалла.

Величина обменного интеграла энергии зависит от степени перекрытия электронных оболочек (волновых функций электронов атомов), энергии возмущения и

некоторый структурный коэффициент, зависящий от реальной структуры кристаллов.

10

Эффективная масса электрона изотропна и является скалярной величиной. Абсолютный минимум энергии зоны проводимости единственный М=1.

Большим достоинством арсенида галлия является очень небольшая по величине эффективная масса электронов mn 0.07m0 и, следовательно, их высокая подвижность.

Ширина запрещенной зоны больше чем у кремния, при 0 К Eg 1.52 эВ, при 300 К Eg 1.43 эВ. Концентрация

собственных носителей заряда при 300 К ni≈107 cм-3. Валентная зона, также как и у простых

полупроводников, состоит из трех подзон: подзоны тяжелых дырок, легких дырок и подзоны, которая отщеплена из-за спин-орбитального взаимодействия. Эффективные массы дырок mpT 0.5m0 , mpЛ 0.12m0 , mdp 0.54m0 . Отношение эффективной массы электрона к эффективной массе тяжелых дырок равно 7.7, что приводит к большой разнице в подвижностях электронов и дырок.

Кроме того, отличительной особенностью зонной структуры арсенида галлия является близкое расположение минимума энергии Еs подзоны зоны проводимости в направлении <100> (Δ), с эффективной массой электрона mn 1.2m0 , к абсолютному минимуму энергии Еs-Ес=0,36 эВ

(рис.7.9.а). Наличие двух минимумов энергии, которые разделяет небольшой энергетический барьер, с существенно разными эффективными массами электронов, влияет на свойства, а именно, при воздействии сильного электрического поля между минимумами возможны перескоки электронов в обе стороны и поскольку эффективные массы разные, то и дрейфовые подвижности и токи будут изменяться с частотой перескоков. Этот эффект называется эффектом Ганна и используется для генерации высокочастотных сигналов.

63