Методика решения задач по электростатике

-3 -

§1. Электростатическое поле в вакууме

Закон Кулона: Сила взаимодействия между точечными зарядами q1 и q1, находящимися на расстоянии r в среде с диэлектрической проницаемостью :

F q1q2 ,

4 0 r2

где 0 - электрическая постоянная.

Напряженность поля

Связь между напряженностью E и электрическим смещением D:

D 0 E.

Напряженность поля точечного заряда, а также поля вне равномерно заряженного шара или сферы:

E q .

4 0 r2

Напряженность поля вне равномерно заряженного цилиндра на расстоянии r от его оси:

2 0 r

где - заряд единицы длины цилиндра.

Напряженность поля плоскости, равномерно заряженной с поверхностной плотностью :

- 4 -

E .

2 0

Напряженность поля в плоском, цилиндрическом и сферическом конденсаторах:

Работа электрического поля по переносу заряда q из точки 1 в точку 2:

A qU ,

где U – разность потенциалов между точками 1 и 2. Связь между напряженностью E и разностью

потенциалов 1 2 :

Потенциал поля точечного заряда, а также поля вне равномерно заряженного шара или сферы на расстоянии R от центра:

Энергия диполя p во внешнем электрическом поле и

момент сил N , действующих на диполь:

W pE, N pE .

- 5 -

Сила F , действующая на диполь:

E F p ,

l

E

где - производная вектора E по направлению диполя.

l

Контрольные вопросы

1.Какой закон является физической основой теоремы Гаусса?

2.Какими способами можно вычислить напряженность электростатического поля, созданного протяженным заряженным телом? В каких случаях целесообразно использовать теорему Гаусса?

3.Что называется силовыми линиями электростатического поля? Могут ли они пересекаться?

4.Каков физический смысл divE?

5.Каков знак divE вблизи положительных и отрицательных зарядов?

6.Является ли электростатическое поле потенциальным?

7.Каков физический смысл rotE?

8.Запишите математическую формулировку теоремы Стокса.

9.Что называется эквипотенциальной поверхностью?

10.Сформулируйте принцип суперпозиции для напряженности и потенциала.

11.Объясните принцип действия электроскопа.

- 6 -

Задачи с решениями

Задача 1. Система состоит из тонкого заряженного проволочного кольца радиуса R и очень длинной равномерно заряженной нити, расположенной по оси кольца так, что один из ее концов совпадает с центром кольца. Последнее имеет заряд q. На единицу длины нити

приходится заряд . Найти силу взаимодействия кольца и нити.

Решение:

~

dF

dx

x

dl

O R

Рис. 1.1

Рассмотрим взаимодействие элементарного участка кольца длиной dl и элемента нити длиной dx в точке с координатой x. Считая эти элементы точечными зарядами, запишем силу их кулоновского взаимодействия:

- 7 -

Из соображений симметрии ясно, что сила взаимодействия всего кольца со всей нитью будет

~

направлена вдоль оси X. Поэтому силу dF спроецируем на ось X:

Интегрируя силу (2) по всему кольцу, находим силу взаимодействия кольца с элементом нити dx:

Выполняя интегрирование (3) по координате x, получаем искомую силу взаимодействия кольца с полубесконечной нитью:

4 0 R

- 8 -

Задача 2. Две пересекающиеся под углом бесконечные плоскости делят пространство на четыре области. Чему равна напряженность электрического поля в областях 1 и 2, если поверхностные плотности зарядов плоскостей + и -

?

E+

-

Рис. 1.2.

Решение:

В области 1 напряженность поля согласно принципу суперпозиции электрических полей равна векторной сумме напряженностей полей, созданных каждой из плоскостей в отдельности:

Следовательно, для модуля вектора напряженности имеем:

В области 2 напряженность поля равна

- 9 -

Задача 3. В вершинах квадрата с диагональю 2l находятся точечные заряды q и –q, как показано на рис. Найти модуль вектора напряженности электрического поля в точке, отстоящей на расстояние x от центра квадрата и расположенной симметрично относительно вершин квадрата.

- q - q

Рис. 1.3.

Решение:

Точка наблюдения является вершиной пирамиды,

основанием которой является квадрат со стороной 2l/2. Рассмотрим левую боковую грань, содержащую заряды + q и – q. Напряженность поля, созданного этими зарядами,

равна

где напряженность поля от одного заряда

- 10 -

E+

E1

l2 x2

E-

Рис. 1.4.

Вторая пара разноименных зарядов дает такую же напряженность E1 .

Искомый модуль напряженности поля, созданного всеми четырьмя зарядами, равен

- 11 -

Задача 4. Находящийся в вакууме тонкий прямой стержень длины 2a заряжен равномерно зарядом q. Найти модуль вектора напряженности электрического поля как функцию расстояния r от центра стержня для точек прямой, перпендикулярной к стержню и проходящей через его центр.

Исследовать полученное выражение при r a.

Решение:

а)

x dx

r

P

dE

Рис. 1.5.

Разобьем стержень на элементарные кусочки длиной dx, имеющие заряд dq = dx, где = q/2a – линейная плотность заряда стержня.

Считая dq точечным зарядом, запишем напряженность поля, созданного этим элементом на расстоянии r от центра стержня:

- 12 -

Перейдем от переменной x к углу :

Из соображений симметрии ясно, что вектор напряженности поля, созданного всем стержнем в точке P, будет направлен вертикально вниз.

Спроецируем вектор dE на ось Y:

Согласно принципу суперпозиции полей, напряженность электрического поля от всего стержня найдем, проинтегрировав (3) по углу . Левый конец стержня

соответствует углу arccos a/a2 r2 , правый –

углу arccos a/a2 r2 .

При r a напряженность поля равна

E q .

4 0r2

Задача 5. Очень длинная прямая равномерно заряженная нить имеет заряд на единицу длины. Найти модуль и направление вектора напряженности электрического поля в точке, которая отстоит от нити на расстояние y и находится на перпендикуляре к нити, проходящем через один из ее концов.

- 13 -

Решение:

Разобьем нить на элементы длиной dx . Каждый из элементов создает в точке наблюдения электрическое поле с напряженностью

dE

y

x dx

Рис. 1.6.

Компоненты вектора напряженности dE вдоль нити и перпендикулярно к ней:

Координату x выразим через угол :

Подставляя (3) в (1) и выполняя интегрирование по , находим компоненты вектора напряженности поля, созданного всей нитью в точке наблюдения:

Модуль вектора напряженности электрического поля нити равен

Вектор напряженности образует угол 45 с перпендикуляром к нити.

Задача 6. Равномерно заряженная нить, на единицу длины которой приходится заряд , имеет конфигурацию, показанную на рис. Считая, что радиус закругления R значительно меньше длины нити, найти модуль вектора напряженности электрического поля в точке O.

O

R

Рис. 1.7.

- 15 -

Решение:

Разобьем нить на три участка: полубесконечный прямой участок, закругленный (четверть окружности), полубесконечный участок.

Из результатов предыдущей задачи следует, что вектор напряженности от левого прямого участка компенсируется вектором от нижнего прямого участка.

Напряженность поля в точке O от элемента длиной dl закругленного участка:

Компонента напряженности от элемента dl вдоль оси, параллельной нижнему прямому участку, равна:

Компонента напряженности в перпендикулярном направлении:

Выполняя интегрирование по углу , находим компоненты напряженности поля, созданного всем закругленным участком в точке O:

Модуль вектора напряженности равен

Задача 7. Тонкое полукольцо радиуса R= 20 см заряжено равномерно зарядом q= 0,70 нКл. Найти модуль

вектора напряженности электрического поля в центре кривизны этого полукольца.

Решение:

Воспользуемся формулами (4) и (5) из предыдущей задачи. Тогда, имеем:

Подставляя в (1) линейную плотность заряда q/ R,

получаем модуль вектора напряженности в центре кривизны полукольца:

Задача 8. Равномерно заряженная очень длинная нить, расположенная по оси круга радиуса R, упирается одним своим концом в его центр. Заряд нити на единицу длины

равен . Найти поток вектора E через площадь круга.

- 17 -

Решение:

Z

dz

z

0

dS Y

X n

dE

Рис. 1.8.

Рассмотрим элементарную площадку dS = dx dy с центром в произвольной точке с координатами (x, y) внутри круга. Элемент нити dz создаст в этой точке электрическое поле с напряженностью

Введем цилиндрические координаты , так, что:

- 18 -

x cos , y sin .

Тогда поток вектора напряженности поля, созданного всей нитью, через площадь всего круга равен:

Ответ: R . Знак зависит от выбора

2 0

направления нормали к кругу.

Задача 9. Тонкое непроводящее кольцо радиусом R заряжено с линейной плотностью 0 cos , где 0 -

положительная постоянная, - азимутальный угол. Найти напряженность E электрического поля:

а) в центре кольца;

б) на оси кольца в зависимости от расстояния x до его центра. Исследовать полученное выражение при x R.

Решение:

+-

+-

+-

Рис. 1.9.

а) Рассмотрим элемент кольца длиной dl = R d .

- 19 -

Напряженность электрического поля, созданного этим элементом в центре кольца

В силу симметрии распределения заряда ясно, что вектор напряженности от всего кольца будет направлен вдоль горизонтального направления. Следовательно, для нахождения напряженности необходимо спроецировать (1) на горизонтальную ось и затем проинтегрировать по углу

:

б) В этом случае легко получить на расстоянии x вместо

(1) следующее выражение:

~ 0 cos Rd

dE . (3)

4 0 R2 x2

Умножим (3) на cos и спроецируем dEна направление, перпендикулярное к оси X:

Произведя интегрирование по , находим напряженность поля

Очевидно, случай а) является частным случаем формулы

(5).

- 20 -

При x R напряженность поля можно представить выражением, напоминающим напряженность поля диполя с электрическим моментом p:

Задача 10. Система состоит из равномерно заряженной сферы радиусом R и окружающей среды, заполненной зарядом с объемной плотностью /r, где - положительная постоянная, r – расстояние от центра сферы. Найти заряд сферы, при котором напряженность E электрического поля вне сферы не будет зависеть от r. Чему равна при этом напряженность E?

Решение:

Согласно теореме Гаусса поток вектора напряженности через поверхность сферы радиусом r равен:

где q – искомый заряд сферы.

Вычислив интегралы в (1), перепишем (1) следующим образом:

Из (2) видно, что напряженность будет постоянной, не зависящей от расстояния r, при условии:

Как следует из (2), напряженность при этом

- 21 -

Задача 11. На расстоянии h от бесконечной плоскости находится точечный заряд +q. Определить напряженность поля в точке А, отстоящей от плоскости и от заряда на расстояние h (см. рис.10(а)).

Решение.

Для решения этой задачи удобно использовать «метод изображений». Потенциал бесконечной заряженной плоскости равен 0. Заменим эту задачу другой задачей, поместив по другую сторону от плоскости заряд (-q) и убрав мысленно плоскость (см. рис. 10(б)).

В любой точке В, ранее принадлежавшей плоскости, потенциал по-прежнему

Таким образом, в верхнем полупространстве (над плоскостью) граничные условия для потенциала остались теми же, и таким же осталось поле в этой области.

Тогда напряженность электрического поля в точке А

равна векторной сумме напряженности поля Е1 , созданной

- 22 -

зарядом (+q), и напряженности Е2 , созданной зарядом (-q). По теореме косинусов

Напряженности полей, созданных точечными зарядами q и (-q) , равны

Задача 12. Внутри шара, заряженного равномерно с объемной плотностью , имеется сферическая полость. Центр полости смещен относительно центра шара на расстояние, характеризуемое вектором a. Найти

напряженность E внутри полости.

Рис. 1.11.

Решение:

Напряженность поля внутри равномерно заряженного шара найдем с помощью теоремы Гаусса: