511

18

или, учитывая (3.6) и (3.7):

sin2 (

b

sin ) sin2 (N

d

sin )

I =I0,1

,

(3.10)

(

b

sin )2

sin2 (

d

sin )

где I0,1-интенсивность, создаваемая одной щелью на оси сим-

метрии линзы.

Для и, соответственно, , в центре, из формул (3.8) и (3.9), получаем: Aгл. = A0 = N .A0,1 ; Iгл. .= I0 = N2 I0,1

Первый множитель в (3.10) обращается в нуль в точках, для ко-

торых: bsin k , k = 1, 2, 3,…

В этих точках интенсивность создаваемая каждой из щелей в отдельности, равна нулю. Второй множитель в (3.10) принимает

значение N2 в точках, удовлетворяющих условию: dsin = m , m = 1, 2, 3, …(3.11)

Условие (3.11) определяет положение максимумов интенсивно-

сти, называемые главными, число m даёт порядок главного макси-

мума или порядок спектра: max

Выражения (3.8) и (3.9) обращаются в нуль, если

		sin(		но sin ≠ ,
	т.е.	d sin =	i	, где i`=1,2,3…	(3.12)
			N

кроме i` = N, 2N, 3N и т.д., так как тогда условие (3.12) пере-

ходит в условие главных максимумов (3.11), т.е. между главными максимумами имеется (N-1) добавочных минимумов и (N-2) вто-

ричных максимумов.

Таким образом, условие добавочных минимумов для mго

11

Лабораторная работа ВО3.

Изучение дифракции света на

дифракционной решётке.

3.1.Цель работы.

Измерение основных характеристик дифракционной решётки :

периода, дисперсии, разрушающей способности, и определение длин волн наиболее ярких линий ртутного спектра, полученного с помощью дифракционной решётки.

3.2.Теоретические основы работы.

Простейшим и практически очень важным случаем дифракции Фраунгофера является дифракция на длинной прямоугольной щели. Ширину щели обозначим b , длину её будем считать бесконечной. Пусть на щель нормально падает плоская монохроматическая волна.

Поместим за щелью собирающую линзу (L), а в фокальной плос-

кости - экран (Э) (рис.3.1.). Волновая поверхность падающей вол-

ны, плоскость щели и экран параллельны друг другу. Световое по-

ле за щелью рассчитывается с использованием принципа Гюйгенса как результат интерференции когерентных вторичных волн исхо-

дящих из различных точек волнового фронта на щели.

Рассмотрим положение фронта плоской волны в плоскости FD.

Выделим вторичные волны , идущие от всех точек волновой по-

верхности FD под углом .Пройдя линзу L , они соберутся в фо-

кальной плоскости в точке .

www.mitht.ru/e-library

12

Обозначим модуль светового вектора этих волн . Колебание,

возбуждаемое элементарной зоной dx, расположенной на расстоя-

нии x от точки О, в точке Р может быть представлено

Рис.3.1. Дифракция Фраунгофера на щели.

	2				2
dA =C cos( t -		x sin )dx=Re C exp i t -				xsin dx
или , в комплексной форме :
dA = C exp i t -			2	x sin ) dx,		.

Считаем, что начальная фаза колебания в точке О равна нулю.

Проинтегрировав (3.1) по всей ширине щели b (b=FD) и учиты-

вая, что:
	1	(eiz e iz )=	1	cosz isin z (cosz isin z) =sin z,
	2i		2i

где z =(πb sinφ)/λ,

17

Рис.3.3.Дифракционная решётка.

Суммирование проводится по правилам суммирования

геометрической прогрессии

n

n

(Sn ai a1

1 q

;q exp( i );a1

exp[i( t )]).

i 1

1 q

-ix

x

-ix/2

,

Учитывая, что

1-e

= (- 2/i) sin

e

получим:

2

Âφ = Â1,φ

sin(N /2)

e

( 1) 2

sin( /2)

Для вещественной амплитуды результирующего колебания

получаем:

A =A1,

sin(N /2)

,

(3.8)

sin( /2)

Для интенсивности:

I =I1,

sin2 (N /2)

,

(3.9)

sin2 ( /2)

www.mitht.ru/e-library

16

Пусть на решётку перпендикулярно к её поверхности падает плоская монохроматическая волна (рис.3.3) . Выясним характер дифракционной картины, получающейся на экране Э. Каждая из щелей даёт на экране картину, описываемую кривой, изображённой на рис.3.2. Картины от всех щелей придутся на одно и то же место экрана (независимо от положения щели, центральный максимум лежит против центра линзы). Разность хода между вторичными волнами, исходящими из соседних щелей решётки, будет

d sin ,

а разность фаз:
=	2	d sin ,	(3.7)

Обозначим через Â амплитуду результирующего колебания в точке P , излучаемого первой щелью. Тогда, в соответствии с

формулами (3.2),(3.4) и (3.7), амплитуды колебаний, излучаемых остальными щелями, представляется в виде:

  e	i	 φ  φ e	i	, ÂN  e	N i

где N - общее число щелей.

Полное поле, изучаемое всеми щелями, представляется сум-

мой:

 = Â1, [1+e-i +…+e-i(N-1) = Â1, 1 e iiN

1 e

13

найдем результирующее колебание, возбуждаемое в точке P :

A = i dx =

N

Сsin(				bsin )
					,	(3.2)
			sin

Вобщем случае выражение

Сsin( bsin )

 =				,	(3.3)
			sin

определяет амплитуду результирующего колебания. В данном слу-

чае выражение (3.3) - вещественное, его модуль представляет со-

бой обычную амплитуду результирующего колебания, т е. Â .

Полагая амплитуду колебаний в точке P0 ( = 0) равной n, и

sin

учитывая, что lim 0			=1, получим c b , т. е. C= b.
Итак, окончательно:

A =

При значениях

	sin(		b		sin )
A0						,	(3.4)
	b			sin
, удовлетворяющих условию
b sin k , k , 2, 3, ...							(3.5)

амплитуда обращается в нуль.

www.mitht.ru/e-library

14

Таким образом, условие (3.5) определяет положение мини-

мумов интенсивности. Так как интенсивность света пропорциональ-

на квадрату амплитуды светового вектора, то в соответствии с (3.4)

	sin2 ( bsin )
Iφ= I0		,	(3.6)
	( bsin )2

где I0- интенсивность в середине дифракционной картины, Iφ - интенсивность в точке, положение которой определяется данным зна-

чением угла .

Между соседними минимумами располагаются максимумы ин-

тенсивности. Для нахождения максимумов необходимо продиффе-

ренцировать функцию (3.4) по и полученное выражение приров-

нять нулю. Положения максимумов определяются из решения

трансцендентного уравнения :

b	sin cos(	b	sin ) sin(	b	sin ) 0
			Iφ

sin φ

Рис.2.2.Распределение интенсивности в дифракционной картине

от щели.

15

Практически можно считать ,что максимумы расположены посере-

дине между минимумами , т.е.

b sin = (k 1/2) , k 1 , 2 , 3 ...

График функции (3.6) изображён на рис. 2.2. По оси абсцисс от-

ложены значения sin , по оси ординат - интенсивность Iφ . Количе-

ство минимумов интенсивности определяется отношением ширины

щели b к длине волны . Из условия (3.5)					k
			следует, что sin =			.
					b
Так как sin 1 то	k	1, т.е. k	b	.
	b

3.5.2. Дифракция Фраунгофера на решётке.

Дифракционной решёткой называется совокупность большего числа одинаковых, отстоящих друг от друга на одно и тоже рас-

стояние щелей. Как правило, дифракционная решётка представля-

ет собой плоскую стеклянную или металлическую поверхность, на которой нанесено очень много прямых равноотстоящих штрихов.

На стеклянных решётках (штрихи рассеивают свет и являются,

практически, непрозрачными промежутками) наблюдения можно проводить как в проходящем, так и в отражённом свете, на метал-

лических - только в отражённом свете.

Ширину щели обозначим через b, ширину непрозрачной полосы

- через a. Величина d=a+b называется периодом решётки. Это расстояние между серединами двух соседних щелей.

В дифракционной решётке осуществляется многолучевая ин-

терференция когерентных дифракционных пучков света, исходящих от щелей решётки при её освещении.

www.mitht.ru/e-library