Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

П.М.Зоркий "Задачник по кристаллохимии и кристаллографии"

.pdf
Скачиваний:
86
Добавлен:
24.03.2015
Размер:
1.5 Mб
Скачать

п. м. ЗОРКИЙ

ЗАДАЧНИК

ПО КРИСТАЛЛОХИМИИ И КРИСТАЛЛОГРАФИИ

Под редакцией канд. хим. наук

ЛМ. Б. о р спан ов о и

ИЗДАТЕЛЬСТВО ЖОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

1981

УД К 548.31

Печатается по постановлению Рсдакционно-издательского совета

Московского университета

Р е ц е н з е н т ы :

докт. физ.-мат. паукВ Г . . Дашевский, канд. хим. паукТ . Н. Полынова

ЗоркийП . М.

Задачникп о кристаллохимии кристаллографии. М.: Изд-во МГУ, 1981.

Задачник содержит более 700 задач но следующим темам: точечные и пространственные группы симметрии, симметрия молекул и кристаллов, важнейшие типы кристаллических структур, плотные шаро -

вы е упаковкии

кладки, кристаллохимические радиусы атомов.

Задачник

предназначенл я занятиип о кристаллохимиин а х и м и -

ческих факультетах университетов, может быть использован для пре-

подавания кристаллографии

и

других близких дисциплин в вузах

с химико-технологическим, геологическим

техническим профилем,а

также будет полезен аспирантам

научным сотрудникам, желающимса -

мостоятельно изучить основы

кристаллохимиии

кристаллографии.

 

 

 

3 2050382 ,3481 1805000000

 

 

 

077(02)—81

©

Издательство Московского университета, 1981г .

О т а в т о р а

Предлагаемый задачник— результат пятнадцатилетней

методической работы, которая веласьп а химическом факультете Московского университета в процессе становления обще-

го курса кристаллохимии. Внедрение задачв семинарскиеза -

нятия и контрольные работы позволило существенно активи-

зировать учебный процесс, повысить ответственность студен-

то (в и преподавателей), добиться более глубокого понимания

иусвоения материала.

Вучебной литературеп о кристаллохимиии смежным дис-

циплинам задачи практически отсутствуют, если не говорить о некоторых разделах геометрической кристаллографии, наиболее далеких от химии. Почти все задачи, содержащиеся в настоящем издании, составлены автором и другими препода-

вателями химического факультета МГУЭт.

у

работу отнюдь

не следует считать завершенной. Очевидно,чт

о

многие разде-

лы задачника

требуют дальнейшего

расширения и усовер-

шенствования;

в форме задач можно

представить и многие

другие разделы' курса кристаллохимии. Автор будет благодарен всем,кт о пожелает сделать замечания предложения,

которые помогут продолжить создание кристаллохимических

задач.

Система используемых в задачнике понятий, терминов, обозначений в основном соответствует той, которая принята в книге П. М. Зоркого и Н. Н. Афониной «Симметрия моле-

кули

кристаллов» (М., Изд-во Моск. ун-та,

1979)В .

этой

книге

указана

и другая

учебная

литература, на

которую

ориентировался

автор.

форме,

в которой

представлены

Благодаря компактной

задачи, удалось сосредоточить в небольшом объеме довольно обширный материал. Сборник содержит 185 задач; если же

учесть, что многие из них даны в

нескольких (иногда в не-

скольких десятках) вариантов, о

число задач превышает 700.

Следует отметить,чт о однообразие вариантов часто оказыва-

ется лишь внешним, и за видимым сходством кроется значительное различие как в содержании задач, так и в степени их сложности и способах решения.

3

В задачник включеныдв а приложения:1 ) описаниене - квторых простых кристаллических структур, 2) таблица кристаллЬхимических радиусов. Рекомендуется пользоваться этими приложениями при решении задач в разделах 4 и 7—

11. Стиль решения

предлагаемых задач может

быть весьма

различным. Автор, однако, счЕтает

необходимым дать важ-

ную рекомендацию:ка к правило,

и

решении задачи недо-

статочно указать ответ — этот

ответ должен

быть

обоснован

(в письменной форме).

 

возможностью

принести

В заключение

автор пользуется

глубокую благодарность своим учителям чл.-кор. АН СССР

М. А» Порай-Кошицу и канд. геол.-мин. наук К>. Г. ЗагалЬг

ской —они не раз

принимали

живое участие в обсузндашш

включенных в сборник задач,

коллективу лаборатории кри-

сталлохимии химфака МГУ,бе

з поддержкии

содействия fee^

торого этот задачник не мог бы

увидеть свет,

 

и особенно

Е. А. Роговой и Л. М. Куиавиной,

 

оказ_авишм

большую по-

Ыощь при подготовке рукописи.

 

 

 

 

 

1.ЗАКРЫТЫЕ ОПЕРАЦИИ ЗАКРЫТЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ СИММЕТРИИ

1.1.Перечислить симметрические операции, входящие

группу симметрии следующих многогранников: 1) косоуголь-

ный параллелепипед, 2) прямой параллелепипед, 3) прямоугольный параллелепипед, 4) тригональная пирамида, 5) тригональная призма, 6) тригональная дипирамида, 7) тетрагональный тетраэдр (тетраэдр, грани которого — равнобедренные треугольники), 8) ромбоэдр (параллелепипед, грани ко-

торого— равные ромбы).

1.2. Перечислить симметрические операции, входящие группу симметрии следующих плоских молекул (рис)1 . :

1) этилен,2

) дифенил,3 ) одихлорбензол,4

) бромбензол,

5) Н2О, 6) НСЮ.

 

\=/

 

./

V

 

1.2.1

1.2.2

1.2.3

•ее

1.2.4

1.2.5

 

1.2.6

 

 

 

 

 

 

 

Рис1. К.

задаче.1

2

1.3. Записать матрицы следующих симметрических опера-

ций: 1) 2(Х),_2) т(У), _3)

IT

4)

41 (Х), 5) 4 3 (У), 6) 3 l ( Z ) ,

7) 65 (Z), 8) (4)'(*), 9) (3)'(2),

Ю)

( 6 ) 5 ( Z ) . Путем умноже-

 

 

 

 

5

ния вектора-столбцан эта у матрицу найти координаты точки,

вкоторую в результате данной операции преобразуется точка

скоординатамих у, z, .

1.4.Каким симметрическим операциям соответствуют сле-

дующие матрицы?

2) /-1

3)

1

О

О

4)

 

О

0 — 1

 

 

О

1

О

,—1

5 )О /—1 О

 

6)

0

О1

 

 

О

 

0 — 1

О

1

1.5- Найти результат умножения следующих симметрических операций (путем перемножения матриц): 1) 2(Х) и

2(Z), ) 2(У)и m(Z),3 ) 2(У)и т(У),4 ) 2(Х)и 5I ) т(Х)

иm(Z), 6) т (У) и 1.

1.6.Найти результат умножения следующих симметриче-

ских операций (с помощью теоремы об умножении симметрических операций): 1) т(Х) и m'(Z), 2) 3(Z) и т ( Х ) , 3) 6(Z)

и 2(Х), 4) 4(Z) и m(Z), 5) (6) (Z) и т(Х), 6) 4(У) и 4(Z),

7)3(Х) и 3(У) .

1.7.Составить таблицы умножения для групп симметрии плоских молекул, перечисленных в задаче 1.2.

1.8.Составить таблицы умножения для групп симметрии

объемных фигур, перечисленных в задаче 1.1.

1.9.Какую симметрическую операцию надо добавитьк

данной совокупности симметрических операцийдл я того, чтобы получилась группа симметрии?

Вариант

Совокупность операций

Вариант

Совокупность операций

1.9.1

т(Х), m(Y), 2(2)

1.9.5

2(Х), 2(У), 1

1.9.2

1, 1, m(Z)

1.9.6

б1, б5, З1, З2, 1

1.9.3

1,

2(2), 2(2)

1.9.7

1, З1, З2

1.9.4

1,1,

2(2)

1.9.8

1, (4)1, 2

П р и м е ч а н и е . В вариантах 1.9.6—1.9.8, подразумевается, что все по-

вороты совершаются вокруг одногои тогож е направления.

1.10. Являются ли элементами симметрии (циклическими группами) следующие совокупности симметрических опера ций?

Вариант

Совокупность операций

Вариант

Совокупность операций

1

10.1

З1, З2, З3

1.10.3

1, З1, З2, (б)',

("б")5, 2

1

10.2

(3)', (З)2, (З)3

1.104

1, З1, З2, (б)1, (б)т5,

П р и м е ч а н и е Подразумевается,чт ос

и

всех поворотов

совпадают.

1.11 Дорисоватьн а проекции элементы симметрии, наличие которых вытекаети з присутствующих элементов симмет-

рии (рис. 2).

1.11.1

1.11.2

1.11.3

1.11.4

1.11.5

1.11.6

1.11.8 1.11.9

Рис. 2. К задаче 1.11

 

1.12. Изобразить проекцию элементов симметрии,

содер-

жащихсяв

фигурах,

которые перечисленыв

задаче

1.1.

 

 

1.13. Изобразить

проекцию элементов, симметрии,

содер-

жащихсяв

следующих

молекулах:1

) этилен,2

) СНС13,

 

3)

бензол.

 

 

 

 

 

отражениемв

плоскос-

ти

1.14. Установить, какие поворотыс

(зеркальные повороты, обозначаемыеп о Шенфлису)

соот-

ветствуют следующим поворотам с диверсией:

1)

1, 2)

(4)1 ,

3 )

(Т)43

)

(3)',5) (З)65, )

(6)',7 )

(б)5.

инверсией соответст-

 

1.15. Установить,

какие

поворотыс

вуют

следующим поворотамс

отражениемв

 

плоскости

(зеркальным поворотам):

1) S\

, 2)

S*3

,

3)

S4!

,

4)

5!6 ,

5

Si ,

6) Si .

 

 

я = 4/, то n=Sn, т. е. инверсион-

 

1.16. Доказать, что если

ные оси эквивалентны зеркально-поворотным осям тех же по-

рядков.

 

 

 

 

 

справедливо

равенство

 

1.17. Доказать, что при п = 4/+2

Я = 5п/2, т. е. инверсионные

оси

эквивалентны

зеркально-по-

воротным

осям половинного порядка.

 

 

 

 

 

 

 

1.18. Доказать, что при n-нечетном справедливо равенство

n = Sn/2, т. е. инверсионные

оси эквивалентны зеркально-пово-

ротным осям удвоенного порядка.

 

 

 

 

 

 

 

2 . ТОЧЕЧНЫЕ ГРУППЫ СИММЕТРИИ

2.1. Изобразить на проекции расположение элементов симметрии в следующих точечных группах: 1) 2/га,__2) mmm,

3) 32, 4) 3, 5) Зт, 6^422, 7) 42т, 8) 4/ттга, 9) 6, 10) 6т2,

2311) 12, ) тЗ,13 ) 43т,14 ) тЗт.

2.2.Определить категорию точечных групп, перечисленных

взадаче 2.1.

2.3. Записать символы Шенфлисадл

я

точечных групп,пе

-

речисленныхв

задаче 2.1.

 

 

 

 

 

 

 

 

2.4. Изобразить на проекции расположение элементов сим-

 

метриив

 

следующих точечных группах:1 ) D22,

)

Czv,3

)

С,

 

4) S4, 5) C4/i, 6) D5d, 7) C6/l, 8) D6/l, 9)

Th, 10) 0,

11) /.

 

 

 

2.5. Определить

категорию точечных групп, перечислен-

 

ныхв

задаче

2.4.

 

 

 

точечных

 

групп,

 

2.6. Записать международные символы

 

 

перечисленныхв

задаче 2.4.

 

 

 

 

 

 

 

 

2.71. Определить группу симметрии (указать международ-

 

ный символи

символ

Шенфлиса)

следующих

многогранни-

 

ков: 1) косоугольный параллелепипед, 2) прямой параллеле-

 

пипед,3

)

прямоугольный параллелепипед,4

)

 

тригональиая

 

1 При

решении

задач 2.7—2.27 желательно

показать на чертеже или

 

описать

словами

расположение элементов

симметриив

 

фигуреил

и

моле-

 

куле.

8

пирамида, 5J тетрагональная пирамида, 6) тригональная призма, 7) тетрагональная призма, 8) тригональная дипира-

мида,

9) тетрагональная дипирамида, 10) куб, 11) октаэдр,

12) правильный тетраэдр,13 )

тетрагональный тетраэдр (тет-

раэдр,

грани которого — равные

равнобедренные треугольни-

ки), 14) «ромбический» тетраэдр

(грани которого — равные

разносторонние

треугольники),15

) ромбоэдр (параллелепи-

пед, грани которого — равные ромбы).

2.8. Определить

груп-

 

пу симметрии следующих

 

многогранников

с

осями

 

пятого порядка (рис3). :

1) пентагональная пирамида,2 ) пентагональная

призма,3 ) правильный додекаэдр, 4) правильный

икосаэдр.

 

 

 

 

 

 

2.9.

Определить

сим-

2.8.1

2.8.2

метрию тела, полученного

 

 

вращением

равнобедрен-

 

 

ного треугольника

1) во-

 

 

круг боковой

стороны, 2)

 

 

вокруг основания.

 

 

 

ри1 я

2.10. Какова

симмет-

 

 

)

бабочки,2

) трех-

 

 

лопастного

пропеллера,

2.8.3

2.8А

3 )

кирпича,4

)

полумеся-

ца, 5) гантели, 6) бубли-

 

Рис. 3. К задаче 2.8

ка, 7)

рюмки?

 

 

 

 

2.11. Определить группу симметрии фигур, образующихсяп и сечении следующих многогранников:

Вариант

Многогранник

 

 

Сечение проведено

2.11.1

тригональная пирамида

через

высотуи

боковое ребро

2.11.2

трйгопальная пирамида

через

высоту

параллельно стороне

 

 

тетрагональная

дипи-

основания

 

2.11.3

через

высоту и боковое ребро

2.11.4

рамида

 

дипи-

через

высоту

параллельно стороне

тетрагональная

2.11.5

рамида

 

 

основания

 

октаэдр

 

 

через

плоскость симметрии (два

 

 

 

 

 

решения)

 

 

2.12. Определить точечную группу симметрии следующих

плоских

молекул (рис. 4):

1) этилен, 2)

1,2-дихлорэтилен,

3)

хлорэтилен,

4) бутадиен,

5) димер муравьиной кислоты,

6)

флороглюцин

(1,3,5-триоксибензол).

л

 

 

 

 

 

 

 

2.13. Определить точечную группу симметрии плоскихом - лекул конденсированных ароматических углеводородов, изо-

браженных а

рис51. : )

нафталин,2 ) фенантрен,3 ) пирен,

4) трифенилен51,

) хризен,6 )

коронен.

се

-... v>V

2,12.2

и...ни\

/

И———СV/

2.12.5

Рис. 4. К задаче 2.12

2-14. Определить точечную группу симметрии плоских молекул производных бензолаи нафталина:1 ) хлорбензол,

2)

1,2-дихлорбензол (о-дихлорбензол),

3)

1,3-дихлорбензол

(ж-дихлорбепзол),4

)

1,4-дихлорбензол

(я-дихлорбензол),

5) 1,2,4,5-тетрахлорбепзол,6 ) 1-хлорнафталин,Л ) 1,2-дихлор-

нафталин,8

)

1,4-дихлорнафталии,9

) 1,5-дихлориафталин.

в

2.15. Какова

симметрия

молекулы

1,8-дииодиафталина,

которой

атомыI

 

отклоняются т

средней

плоскости моле-

кулы в разные стороны (из-за стерических затруднений)?

в

2.16. Какова

симметрия

молекулы дифенила С6

Н5—С6Н5

кристалле,гд

оне

а

имет плоское строение,

в

газе,гд

ве

результате

 

поворота вокруг ординарной связи плоскости мо-

лекул образуют угол

~42°?

 

 

 

 

гетероцикли-

 

2.17. Определить точечную группу плоских

ческих молекул, изображенных на рис. 6:

1) пиридин (за счет

ны

1 В действительности в молекуле трифенилена

периферийные бензоль-

е кольца слегка выведеныи з плоскости центрального кольца.

 

10