П.М.Зоркий "Задачник по кристаллохимии и кристаллографии"
.pdfп. м. ЗОРКИЙ
ЗАДАЧНИК
ПО КРИСТАЛЛОХИМИИ И КРИСТАЛЛОГРАФИИ
Под редакцией канд. хим. наук
ЛМ. Б. о р спан ов о и
ИЗДАТЕЛЬСТВО ЖОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
1981
УД К 548.31
Печатается по постановлению Рсдакционно-издательского совета
Московского университета
Р е ц е н з е н т ы :
докт. физ.-мат. паукВ Г . . Дашевский, канд. хим. паукТ . Н. Полынова
ЗоркийП . М.
Задачникп о кристаллохимии кристаллографии. М.: Изд-во МГУ, 1981.
Задачник содержит более 700 задач но следующим темам: точечные и пространственные группы симметрии, симметрия молекул и кристаллов, важнейшие типы кристаллических структур, плотные шаро -
вы е упаковкии |
кладки, кристаллохимические радиусы атомов. |
Задачник |
предназначенл я занятиип о кристаллохимиин а х и м и - |
ческих факультетах университетов, может быть использован для пре-
подавания кристаллографии |
и |
других близких дисциплин в вузах |
|
с химико-технологическим, геологическим |
техническим профилем,а |
||
также будет полезен аспирантам |
научным сотрудникам, желающимса - |
||
мостоятельно изучить основы |
кристаллохимиии |
кристаллографии. |
|
|
|
|
3 20503-°82 ,3481 1805000000 |
|
|
|
077(02)—81 |
© |
Издательство Московского университета, 1981г . |
О т а в т о р а
Предлагаемый задачник— результат пятнадцатилетней
методической работы, которая веласьп а химическом факультете Московского университета в процессе становления обще-
го курса кристаллохимии. Внедрение задачв семинарскиеза -
нятия и контрольные работы позволило существенно активи-
зировать учебный процесс, повысить ответственность студен-
то (в и преподавателей), добиться более глубокого понимания
иусвоения материала.
Вучебной литературеп о кристаллохимиии смежным дис-
циплинам задачи практически отсутствуют, если не говорить о некоторых разделах геометрической кристаллографии, наиболее далеких от химии. Почти все задачи, содержащиеся в настоящем издании, составлены автором и другими препода-
вателями химического факультета МГУЭт. |
у |
работу отнюдь |
||
не следует считать завершенной. Очевидно,чт |
о |
многие разде- |
||
лы задачника |
требуют дальнейшего |
расширения и усовер- |
||
шенствования; |
в форме задач можно |
представить и многие |
другие разделы' курса кристаллохимии. Автор будет благодарен всем,кт о пожелает сделать замечания предложения,
которые помогут продолжить создание кристаллохимических
задач.
Система используемых в задачнике понятий, терминов, обозначений в основном соответствует той, которая принята в книге П. М. Зоркого и Н. Н. Афониной «Симметрия моле-
кули |
кристаллов» (М., Изд-во Моск. ун-та, |
1979)В . |
этой |
|||
книге |
указана |
и другая |
учебная |
литература, на |
которую |
|
ориентировался |
автор. |
форме, |
в которой |
представлены |
||
Благодаря компактной |
задачи, удалось сосредоточить в небольшом объеме довольно обширный материал. Сборник содержит 185 задач; если же
учесть, что многие из них даны в |
нескольких (иногда в не- |
скольких десятках) вариантов, о |
число задач превышает 700. |
Следует отметить,чт о однообразие вариантов часто оказыва-
ется лишь внешним, и за видимым сходством кроется значительное различие как в содержании задач, так и в степени их сложности и способах решения.
3
В задачник включеныдв а приложения:1 ) описаниене - квторых простых кристаллических структур, 2) таблица кристаллЬхимических радиусов. Рекомендуется пользоваться этими приложениями при решении задач в разделах 4 и 7—
11. Стиль решения |
предлагаемых задач может |
быть весьма |
|||||
различным. Автор, однако, счЕтает |
необходимым дать важ- |
||||||
ную рекомендацию:ка к правило, |
и |
решении задачи недо- |
|||||
статочно указать ответ — этот |
ответ должен |
быть |
обоснован |
||||
(в письменной форме). |
|
возможностью |
принести |
||||
В заключение |
автор пользуется |
||||||
глубокую благодарность своим учителям чл.-кор. АН СССР |
|||||||
М. А» Порай-Кошицу и канд. геол.-мин. наук К>. Г. ЗагалЬг |
|||||||
ской —они не раз |
принимали |
живое участие в обсузндашш |
|||||
включенных в сборник задач, |
коллективу лаборатории кри- |
||||||
сталлохимии химфака МГУ,бе |
з поддержкии |
содействия fee^ |
|||||
торого этот задачник не мог бы |
увидеть свет, |
|
и особенно |
||||
Е. А. Роговой и Л. М. Куиавиной, |
|
оказ_авишм |
большую по- |
||||
Ыощь при подготовке рукописи. |
|
|
|
|
|
1.ЗАКРЫТЫЕ ОПЕРАЦИИ ЗАКРЫТЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ СИММЕТРИИ
1.1.Перечислить симметрические операции, входящие
группу симметрии следующих многогранников: 1) косоуголь-
ный параллелепипед, 2) прямой параллелепипед, 3) прямоугольный параллелепипед, 4) тригональная пирамида, 5) тригональная призма, 6) тригональная дипирамида, 7) тетрагональный тетраэдр (тетраэдр, грани которого — равнобедренные треугольники), 8) ромбоэдр (параллелепипед, грани ко-
торого— равные ромбы).
1.2. Перечислить симметрические операции, входящие группу симметрии следующих плоских молекул (рис)1 . :
1) этилен,2 |
) дифенил,3 ) одихлорбензол,4 |
) бромбензол, |
5) Н2О, 6) НСЮ. |
|
|
\=/ |
|
|
./ |
V |
|
1.2.1 |
1.2.2 |
1.2.3 |
•ее
1.2.4 |
1.2.5 |
|
1.2.6 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Рис1. К. |
задаче.1 |
2 |
|
1.3. Записать матрицы следующих симметрических опера- |
||||
ций: 1) 2(Х),_2) т(У), _3) |
IT |
4) |
41 (Х), 5) 4 3 (У), 6) 3 l ( Z ) , |
|
7) 65 (Z), 8) (4)'(*), 9) (3)'(2), |
Ю) |
( 6 ) 5 ( Z ) . Путем умноже- |
||
|
|
|
|
5 |
ния вектора-столбцан эта у матрицу найти координаты точки,
вкоторую в результате данной операции преобразуется точка
скоординатамих у, z, .
1.4.Каким симметрическим операциям соответствуют сле-
дующие матрицы?
2) /-1
3) |
1 |
О |
О |
4) |
|
О |
0 — 1 |
|
|
|
О |
1 |
О |
,—1 |
5 )О /—1 О |
|
6) |
||
0 |
О1 |
|
|
О |
|
0 — 1 |
О |
1 |
1.5- Найти результат умножения следующих симметрических операций (путем перемножения матриц): 1) 2(Х) и
2(Z), ) 2(У)и m(Z),3 ) 2(У)и т(У),4 ) 2(Х)и 5I ) т(Х)
иm(Z), 6) т (У) и 1.
1.6.Найти результат умножения следующих симметриче-
ских операций (с помощью теоремы об умножении симметрических операций): 1) т(Х) и m'(Z), 2) 3(Z) и т ( Х ) , 3) 6(Z)
и 2(Х), 4) 4(Z) и m(Z), 5) (6) (Z) и т(Х), 6) 4(У) и 4(Z),
7)3(Х) и 3(У) .
1.7.Составить таблицы умножения для групп симметрии плоских молекул, перечисленных в задаче 1.2.
1.8.Составить таблицы умножения для групп симметрии
объемных фигур, перечисленных в задаче 1.1.
1.9.Какую симметрическую операцию надо добавитьк
данной совокупности симметрических операцийдл я того, чтобы получилась группа симметрии?
Вариант |
Совокупность операций |
Вариант |
Совокупность операций |
|
1.9.1 |
т(Х), m(Y), 2(2) |
1.9.5 |
2(Х), 2(У), 1 |
|
1.9.2 |
1, 1, m(Z) |
1.9.6 |
б1, б5, З1, З2, 1 |
|
1.9.3 |
1, |
2(2), 2(2) |
1.9.7 |
1, З1, З2 |
1.9.4 |
1,1, |
2(2) |
1.9.8 |
1, (4)1, 2 |
П р и м е ч а н и е . В вариантах 1.9.6—1.9.8, подразумевается, что все по-
вороты совершаются вокруг одногои тогож е направления.
1.10. Являются ли элементами симметрии (циклическими группами) следующие совокупности симметрических опера ций?
Вариант |
Совокупность операций |
Вариант |
Совокупность операций |
|||
1 |
10.1 |
З1, З2, З3 |
1.10.3 |
1, З1, З2, (б)', |
("б")5, 2 |
|
1 |
10.2 |
(3)', (З)2, (З)3 |
1.104 |
1, З1, З2, (б)1, (б)т5, |
||
П р и м е ч а н и е Подразумевается,чт ос |
и |
всех поворотов |
совпадают. |
1.11 Дорисоватьн а проекции элементы симметрии, наличие которых вытекаети з присутствующих элементов симмет-
рии (рис. 2).
1.11.1 |
1.11.2 |
1.11.3 |
1.11.4 |
1.11.5 |
1.11.6 |
1.11.8 1.11.9
Рис. 2. К задаче 1.11
|
1.12. Изобразить проекцию элементов симметрии, |
содер- |
||||||||||||
жащихсяв |
фигурах, |
которые перечисленыв |
задаче |
1.1. |
|
|||||||||
|
1.13. Изобразить |
проекцию элементов, симметрии, |
содер- |
|||||||||||
жащихсяв |
следующих |
молекулах:1 |
) этилен,2 |
) СНС13, |
|
|||||||||
3) |
бензол. |
|
|
|
|
|
отражениемв |
плоскос- |
||||||
ти |
1.14. Установить, какие поворотыс |
|||||||||||||
(зеркальные повороты, обозначаемыеп о Шенфлису) |
соот- |
|||||||||||||
ветствуют следующим поворотам с диверсией: |
1) |
1, 2) |
(4)1 , |
|||||||||||
3 ) |
(Т)43 |
) |
(3)',5) (З)65, ) |
(6)',7 ) |
(б)5. |
инверсией соответст- |
||||||||
|
1.15. Установить, |
какие |
поворотыс |
|||||||||||
вуют |
следующим поворотамс |
отражениемв |
|
плоскости |
||||||||||
(зеркальным поворотам): |
1) S\ |
, 2) |
S*3 |
, |
3) |
S4! |
, |
4) |
5!6 , |
|||||
5 |
Si , |
6) Si . |
|
|
я = 4/, то n=Sn, т. е. инверсион- |
|||||||||
|
1.16. Доказать, что если |
|||||||||||||
ные оси эквивалентны зеркально-поворотным осям тех же по- |
||||||||||||||
рядков. |
|
|
|
|
|
справедливо |
равенство |
|||||||
|
1.17. Доказать, что при п = 4/+2 |
|||||||||||||
Я = 5п/2, т. е. инверсионные |
оси |
эквивалентны |
зеркально-по- |
|||||||||||
воротным |
осям половинного порядка. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1.18. Доказать, что при n-нечетном справедливо равенство |
|||||||||||||
n = Sn/2, т. е. инверсионные |
оси эквивалентны зеркально-пово- |
|||||||||||||
ротным осям удвоенного порядка. |
|
|
|
|
|
|
|
2 . ТОЧЕЧНЫЕ ГРУППЫ СИММЕТРИИ
2.1. Изобразить на проекции расположение элементов симметрии в следующих точечных группах: 1) 2/га,__2) mmm,
3) 32, 4) 3, 5) Зт, 6^422, 7) 42т, 8) 4/ттга, 9) 6, 10) 6т2,
2311) 12, ) тЗ,13 ) 43т,14 ) тЗт.
2.2.Определить категорию точечных групп, перечисленных
взадаче 2.1.
2.3. Записать символы Шенфлисадл |
я |
точечных групп,пе |
- |
||||||||||
речисленныхв |
задаче 2.1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2.4. Изобразить на проекции расположение элементов сим- |
|
||||||||||||
метриив |
|
следующих точечных группах:1 ) D22, |
) |
Czv,3 |
) |
С3и, |
|
||||||
4) S4, 5) C4/i, 6) D5d, 7) C6/l, 8) D6/l, 9) |
Th, 10) 0, |
11) /. |
|
|
|
||||||||
2.5. Определить |
категорию точечных групп, перечислен- |
|
|||||||||||
ныхв |
задаче |
2.4. |
|
|
|
точечных |
|
групп, |
|
||||
2.6. Записать международные символы |
|
|
|||||||||||
перечисленныхв |
задаче 2.4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2.71. Определить группу симметрии (указать международ- |
|
||||||||||||
ный символи |
символ |
Шенфлиса) |
следующих |
многогранни- |
|
||||||||
ков: 1) косоугольный параллелепипед, 2) прямой параллеле- |
|
||||||||||||
пипед,3 |
) |
прямоугольный параллелепипед,4 |
) |
|
тригональиая |
|
|||||||
1 При |
решении |
задач 2.7—2.27 желательно |
показать на чертеже или |
|
|||||||||
описать |
словами |
расположение элементов |
симметриив |
|
фигуреил |
и |
моле- |
|
куле.
8
пирамида, 5J тетрагональная пирамида, 6) тригональная призма, 7) тетрагональная призма, 8) тригональная дипира-
мида, |
9) тетрагональная дипирамида, 10) куб, 11) октаэдр, |
|
12) правильный тетраэдр,13 ) |
тетрагональный тетраэдр (тет- |
|
раэдр, |
грани которого — равные |
равнобедренные треугольни- |
ки), 14) «ромбический» тетраэдр |
(грани которого — равные |
||
разносторонние |
треугольники),15 |
) ромбоэдр (параллелепи- |
|
пед, грани которого — равные ромбы). |
|||
2.8. Определить |
груп- |
|
|
пу симметрии следующих |
|
||
многогранников |
с |
осями |
|
пятого порядка (рис3). :
1) пентагональная пирамида,2 ) пентагональная
призма,3 ) правильный додекаэдр, 4) правильный
икосаэдр. |
|
|
|
|
|
||
|
2.9. |
Определить |
сим- |
2.8.1 |
2.8.2 |
||
метрию тела, полученного |
|
|
|||||
вращением |
равнобедрен- |
|
|
||||
ного треугольника |
1) во- |
|
|
||||
круг боковой |
стороны, 2) |
|
|
||||
вокруг основания. |
|
|
|
||||
ри1 я |
2.10. Какова |
симмет- |
|
|
|||
) |
бабочки,2 |
) трех- |
|
|
|||
лопастного |
пропеллера, |
2.8.3 |
2.8А |
||||
3 ) |
кирпича,4 |
) |
полумеся- |
||||
ца, 5) гантели, 6) бубли- |
|
Рис. 3. К задаче 2.8 |
|||||
ка, 7) |
рюмки? |
|
|
|
|
2.11. Определить группу симметрии фигур, образующихсяп и сечении следующих многогранников:
Вариант |
Многогранник |
|
|
Сечение проведено |
|||
2.11.1 |
тригональная пирамида |
через |
высотуи |
боковое ребро |
|||
2.11.2 |
трйгопальная пирамида |
через |
высоту |
параллельно стороне |
|||
|
|
тетрагональная |
дипи- |
основания |
|
||
2.11.3 |
через |
высоту и боковое ребро |
|||||
2.11.4 |
рамида |
|
дипи- |
через |
высоту |
параллельно стороне |
|
тетрагональная |
|||||||
2.11.5 |
рамида |
|
|
основания |
|
||
октаэдр |
|
|
через |
плоскость симметрии (два |
|||
|
|
|
|
|
решения) |
|
|
|
2.12. Определить точечную группу симметрии следующих |
||||||
плоских |
молекул (рис. 4): |
1) этилен, 2) |
1,2-дихлорэтилен, |
||||
3) |
хлорэтилен, |
4) бутадиен, |
5) димер муравьиной кислоты, |
||||
6) |
флороглюцин |
(1,3,5-триоксибензол). |
л |
||||
|
|
|
|
|
|
|
2.13. Определить точечную группу симметрии плоскихом - лекул конденсированных ароматических углеводородов, изо-
браженных а |
рис51. : ) |
нафталин,2 ) фенантрен,3 ) пирен, |
4) трифенилен51, |
) хризен,6 ) |
коронен. |
се
-... v>V
2,12.2
и...ни\
/
И———СV/
2.12.5
Рис. 4. К задаче 2.12
2-14. Определить точечную группу симметрии плоских молекул производных бензолаи нафталина:1 ) хлорбензол,
2) |
1,2-дихлорбензол (о-дихлорбензол), |
3) |
1,3-дихлорбензол |
|||||||||
(ж-дихлорбепзол),4 |
) |
1,4-дихлорбензол |
(я-дихлорбензол), |
|||||||||
5) 1,2,4,5-тетрахлорбепзол,6 ) 1-хлорнафталин,Л ) 1,2-дихлор- |
||||||||||||
нафталин,8 |
) |
1,4-дихлорнафталии,9 |
) 1,5-дихлориафталин. |
|||||||||
в |
2.15. Какова |
симметрия |
молекулы |
1,8-дииодиафталина, |
||||||||
которой |
атомыI |
|
отклоняются т |
средней |
плоскости моле- |
|||||||
кулы в разные стороны (из-за стерических затруднений)? |
||||||||||||
в |
2.16. Какова |
симметрия |
молекулы дифенила С6 |
Н5—С6Н5 |
||||||||
кристалле,гд |
оне |
а |
имет плоское строение, |
в |
газе,гд |
ве |
||||||
результате |
|
поворота вокруг ординарной связи плоскости мо- |
||||||||||
лекул образуют угол |
~42°? |
|
|
|
|
гетероцикли- |
||||||
|
2.17. Определить точечную группу плоских |
|||||||||||
ческих молекул, изображенных на рис. 6: |
1) пиридин (за счет |
|||||||||||
ны |
1 В действительности в молекуле трифенилена |
периферийные бензоль- |
||||||||||
е кольца слегка выведеныи з плоскости центрального кольца. |
|
10