МК5,6

Y;{K:539.16'i.6

PCI[CII'JCHT: ДОI[. К.Л.Сачков

('остаВИТС;III: IIрстгсчеНСКIIЙ И. В.

3аМЯТIIна Н.Л.

110;( ре;(аКI[IIСЙ IIРОф. Ь. В. Л;Iскссева

Усханика. Jlабораторныс работы МК-5. МК-6

26 СТр. VlИТХТ. 1997

http://www.mitht.ru/e-library

Л_бор_тори_.. работа MK-S Определеиие моментов инерции "epдwx тел с помоuu.1O крутильных колебаннй

'де.7Ь рабатЫ

Целью работы является измеренне моментов ииерции твердых тел и

построение эллипсоидов инерции.

2. Теоретические ОСН08Ы работы

где dm • элемент массы тела, р • расстояние от данного элемента до оси

вращени,..

Величина момента инерции lависит от того, относительно какой оси

вращается Te'lo. Т.е. от положения оси вращення. В данной работе

определяютс,. моменты инерции ДIЦ однородных симметричных

твердых тел (куб, прямоугольный параллелепнпед) н провер"ется

Здесь 10А • момент инерции тела omоситem.но оси, npoведеииой через

'Центр тела (т.9); 1х ,1у ,1: . моменты инерции тела O11fосительио

главных осей. Главные оси рассматриваемых тел ,.81IJПOТCJI ос,.ми

симметрии. Они перПeндиkуrurрны граням и npoхоДJIТ через

геометрический центр тела. (рис.'). Если декартову систему КООРДИНат

жестко СВJI38ть с исследуемым телом, поместив начале в

геометрический центр тела и направив оси OX,OY,OZ вдоль главных

осей тела, то углы n,р,), ,.вrurютc,. углами между направлением

произвольиой оси и соответствующими осями декартовой системы КООРДНнат (см.рнс.2). Вывод формулы (2) и определение поНJl't1fЙ

главных осей и эллипсоида инерции см. в приложенин 1.

В данной работе ДIЦ измерения моментов инерции твердого тела примеwrется метод крутильных колебаний. Исследуемое тело ЖесП<О закрепляется 8 рамке KpyпmьHOro маятника. подвешенной на ynрvrой вертихально наТIIНУТОЙ nPOВОЛОkе. Если 8ЫBetт1t МU'ПIНJC Н3

положеНИJI равновесия, то он будет совершать крутильные колебанн.

относительно вepnuranьной ОСИ, СОВПaдalOщdt с направлением nPOВО1l0КИ.

http://www.mitht.ru/e-library

- 4 -

;,...--... ('

Рис.,. Оси вращения параллenепипеда.

Рис 2

http://www.mitht.ru/e-library

- 5 -

Период таких колебаний равеll

где 1т • момент инерuии маятника. равный сумме момента инерции 1

исследуемого тела и момента инерции 10 рамки 1т = f + 10' D •

постоянная момента упругих сил. определяеМdЯ характеристиками

проволоки. на которой ПО.ll1СlUена рамка. Рассмотрение крутильных колебаний и вывод Формры (3) см. в приложении 2. Для периода колебаний свободной рам,," (рамки без тела) имеем

Исключив из выражений (3) и (4) ве:JlIЧИН) О. IIОЛУЧИМ ДДJl момента

инерции исследуемого тела относительно вертикальной OCJ!

(т2 - TJ)

1=/0 2 . (5)

ТО

Момент ииерции тела измеИИТСJI. если его поворачивать и .закреплять 8 р~зличных положениях относительно вертихальной оси. Для тenа.

закрепленного так. чтобы его главные оси OX.OY.OZ ПООЧepeдllQ

совпадали с осью вращения. можно получить следующие соотношеиИJl:

где Тх • ту. т: . периоды колебаний ма.-rника при соответствующих

положениях закрепленного тела.

Подставив (5) и (6) в исходное выражение (2) и учнты at.. 'IТO

cos2 а'+ cos2 Р+ cos2 r = J. получим:

Это соотношение удобно проверять. если в качестве ПРОJОIЮЛЬНОЙ оси выбрать ось. совпадающую с диагональю АВ параJUТелепипела

Пусть паРaJUТелепипед имеет следующие ра1Меры. А • В:.1О.11оси ох, В • вдоль оси оу, С • вдоль ОСИ Ol. Тогм квадраты наIlраВJIЯЮfЫIХ

КОСИНУСОВ (1 О диагонали

http://www.mitht.ru/e-library

3. Прuбuры и nРU1/Ш).1(!Жlюсmu YcтaHo8KCi. состоящая нз миллисеку"Домера. фотодатчика. элеКТРОМ(lГНИта. исследуемых тел (два параJIлелепипеда и куб).

4.0nисаl/ие l'cmaltQ8KU

YcтaHOB)(l изображена на рис.За. Она представляет собой настольный

прибор. СМОНТJfроваllНЫЙ на основании. На вертикальной стойке размещены всрхниif и нижний кронштейны 5-6. Между кроиштеiiнами

на стальной проволоке подвешена рамка 7. предназначенная для установки и закрепления исследуемого груза 8. В центрах граней груза.

всерединах его ребер и у вершин имеются углублеН",1 для закрепления

врамке. На среднем кронштейне 9 размещены шкала. предназначенная

для определения иачального угла поворота рамки. электромагнит .lt1UI

фиксации рамки в заданном положении и фотоэлектрический датчик 10. Внизу на основании находится пульт управления и табло. которое

представляет собой миллисекундомер и счетчик числа колебаний.

Xomв над счетчиком числа колебаltий наnuCQlЮ "МlШоды", lЩ самом деле он считает только число nодltых колебаний.

Эллипсоид инерции исследуется по методу крутильных колебаний. В

J<ачестве исследуемого тела используется металлический груз (два

параллелепипеда. отличающиеся динейиыми размерами. и куб).

ИеCJI~емый груз закрепляется в рамке. начальное ПОJlОжение которой фнксируется электромагнитом. После того как будут нажаты

иаходящиеся на панели клавиши "сброс" и затем .:дl:QL. отключается

элetcтpOмаnnrr. и рамка с грузом начинает совершать крутильные

колебания. Когда 80 время колебаний флажок. установленный на

рамке, пересelCает световоЯ луч. попадающий на фотоэлектрический

датчнк. сигнал с фотодатчика поcrvnает на миллисекундомер, Период колебаний опpt"Дenяетсl по формуле:

Т=!... (11)

n

где t· арем. колебаиИЙ. n • число колебаииЙ. Т • период [е).

http://www.mitht.ru/e-library

- '7 -

5

I

t:J

Uf6

Pltc.3. Схеиа установки.

http://www.mitht.ru/e-library

5. Bblno.111f!II/IC работы ЗаШШII~__J, Ilcl':lwoaaHHe ЭЛШIПСОНШ\ I'lIеРЦltIl IIССIIММСТРIIЧIIOГО

naРМl1елепнпеда.

1)8КЛЮ'IIfте в сел, ШIIУР ПlП<lIl"Я УСТЮ1081\11. l-1аЖМlIте КЛ<lВИШУ

"сет" ". пр" )тО\1 .10,lЖНЫ загореться цифровые индикаторы.

2);1aiiTC ПРIIGору прогреться 1-2 минуты.

3)()ПРС.1СЛlПС IIСРIЮ:l колсбаllllЙ пустой рамки. ЧИСЛО колебаний

BO'lbMIITC ра811ЫМ 10. Для этого:

а) 110верните рамку на УГОЛ Ф и зафИКСllруliте это положение

электромаПlIlТо\t .

б) l-1ажмите И<l К.lаВIIШИ "Сброс", затем "Пуск". После этого ВЫКJlючастся электромагнит и начинается отсчет числа колебаний и

8PCMClllt. ПРСДПОЛОЖIIМ Вам надо определить время 10 JCолебаниЙ. Для этого. когда "а та(),10 будст 'IItСЛО 9 "ажмите на клавишу "Стоп",

прибор доводит число колебаний до 10 и останавливает секундомер. Далее рассчитывается период по формуле (1 1).

Результаты измерений запишите в таблицу t. Резула.таты вычислений запишите в таблицу 2. .

4)3акрепите металлический параллелепипед в рамке так, чтобы ось ОХ (см.рис,t) была вертикальна. дм этого освободите подвижную nлаику 3, отвеРНУ8 гайки боковых штаиг 2 (см.рис.3б). Выверните

почти до коица виит 4. Подиимите подвижную планку по

напра8JUJOЩНМ 1, и. придерживая её рукой, установите груз так, чтобы

соотвстствующее углубление в центре ')дной из граней, вошло в выступ

на нижней перекладине рамки..Опустите подвижную планку по

напраltnЯЮЩllМ, зажмите гайки 2 боковых штанг н подожмите груз сверху ВИIJТОМ 4. Груз зажмите так, чтобы ои не вращался в рамке

ВОJфyI' coбcneнной ОСИ.

S)OIIреДСЛlIте период колебаниИ fx системы, Ось ОХ

парanлелenипеда должна при этом быть вертикальна (оси OX,OY,OZ 8ыБJlраются ПРОИЭ80ЛЬНО). Результаты измереннИ по п.п. s) • 8) запишите в таблицу 1, а ре3УЛЬТ8ТЬ1 вычислениЯ в таблицу 2.

6)Определите период колебаний ту системы. Ось ОУ

парanлелcnипеда должна быть при этом 8ертикальна.

7)OnределRТe период колебаниЯ Т: системы. Ось OZ hаpanлелcnипеда должиа при этом бьпь вертикально.

8)Определите период' колебаний ТА системы вокруг оси,

соответстс8УЮ1ЦеА диагонали АС' параллелcnипеда (см рис.1). 9)Измерьте reoметричеасие разМеры параллелепипеда (а,.,с).

http://www.mitht.ru/e-library

- s -

lО)Проверьте справедливость соотноwеНИII(lО):

(02 +ь2 +с2 )тlв =02т} +ь2 т} +с2т;2

ll)Определите период колебаний ТН системы вокруг оси

соответствующей ЕЕ' (см.рис.I). Результаты измерений запишите 8 таблицу 1. Результаты вычислений запишите в таблицу 2. 12)Проверьте справедливость соотношения

(ь2 + с2 )т) =ь2 т; +с2 т;2

1 IU

2 10

3 10

ер -

http://www.mitht.ru/e-library

- 10 -

Задание 2. Исследование эллипсоида ииерции lCуба. Задание 2 выполняется аиалогичио заданию 1.

Задание З. Построеиие эллипсоида инерции исследуемого

параллелепипеда.

I)Нарисуiiтс сеч~ния эллипсоида плоскостями OXY,OXZ, OYZ. 2)ОтЛОЖlпе на чертеже вдоль соответствующей оси отрезок

оси, То - пеРIfОД колебаний пустой рамки.

3)Соедините полученные точки плавной кривой. Используйте

полученные сечения ДJ1Я построения пространственного вр.да

эллипсоида.

~ие 4. Пocrpoeиие эллипсоида инерции исследуемого куба.

Задаиие 4 8ЫПОЛюrе1'СЯ аналогично заданию 3.

6.Конmрольны.е fJOilPOCbl I)Что называете. моментом инерции твердого тела?

2)3ависит ли период J<Рymльных колебаний от момента инерцни

рамки?

3)Выведите уравнение движени. системы в данной лабораторной работе.

4)Выведите формулу ДJ1Я погрешностt1 измерени. моментов инерции

lx,/y.lz·

5)ВЫЧИCJ1ите погрешность измерения Т.

6)Что наэывaeтtSl цеmpoбежным моментом ине!>ции?

7)однородный стер_ень вращаете. относительно оси I (см.рис.4).

Длина стержня L, масса т. ось I отстонт от края стержня на 1/3L.

HaitцнTe момент инерцни 1относительно оси 1.

m

1)Caeem.ea И.В. Курс общей физики T.I, М:На)'kз,1982-432с (пп38-40

ГЛ.5).

2)Ctpeлkов С.П. МеханИJtа .Общий ItУРС фнЗИkи,М:Науаа,I97S-S6f/

(nnSO·63.nr.1).

http://www.mitht.ru/e-library

- 11 -

Установим зависимость между величинами моментов инерции тела

относительно осей вращения, которые пересек-аются в одной точке. Это выведенное уравнение будет проверяться в работе экспериментально

Расмотрим твердое тело, находящееся в декартовой системе

координат(рис.5).Определим момент инерции элемеJfта MaCQ,1 dm

коордчнат выберем произвольную точку, которая находится в теле на

этой оси. С осями прямоугольной системы координат ось' вращения составляет углы n.р,у. .

Разложим раДlfус-вектор r элемента массы dm на составляющие вдоль

оси аЛ - 1 и перпендикулярную к ней р p=r- - - 1.

Рис.5.

http://www.mitht.ru/e-library