Zadachi_k_ekzamenu_po_matematike

Теория вероятностей. Задачи для подготовки к экзамену в группах 201, 202 гум.-пед. факультета

1. Подбрасываются две игральные кости. Найдите вероятность того, что: а) сумма выпавших очков менее шести; б) на одной из костей выпадет на одно очко меньше, чем на другой.

2. Наудачу выбрано двузначное число. Найдите вероятность того, что оно: а) содержит цифру 1; б) кратно 14; в) не содержит цифр 2, 3, 5, 7.

3. В партии из 15 деталей 10 стандартных. Наудачу были отобраны 9 деталей. Найти вероятность того, что среди отобранных деталей: а) 5 стандартных; не более двух нестандартных.

4.⃰ В урне 4 белых шара, 3 чёрных и 6 красных. Из урны наудачу извлекают 3 шара. Найдите вероятность того, что они разных цветов.

5. а) Карточки с буквами О, О, М, И, Т, Н, Р перемешивают и раскладывают в ряд. Найдите вероятность того, что получится слово МОНИТОР.

б) Карточки с буквами О, О, М, И, Т, Н, Р перемешивают, вынимают четыре карточки и раскладывают в ряд. Найдите вероятность того, что получится слово ТРОН.

в) Из букв разрезной азбуки {с, с, с, г, г, е, е, н, н,} случайным образом выбирают четыре буквы и раскладывают их в ряд. Найдите вероятность того, что получится слово «снег».

6. Из колоды карт (36 штук) случайным образом последовательно извлекают четыре карты. Найти вероятность того, что первые две карты будут бубновой масти, третья – пиковой, а четвертая – крестовый валет.

7. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятности попадания равны 0,7 и 0,9. Найдите вероятности следующих событий:

а) только один из стрелков поразит мишень;

б) хотя бы один из стрелков промахнется;

в) оба стрелка промахнутся.

. В магазин поставляются компьютеры двух фирм, причем объемы поставок относятся как 1:3. Для компьютеров производства первой фирмы вероятность работы без сбоев в течение гарантийного срока равна 0,94, для компьютеров производства второй фирмы – 0,98.

а) Найти вероятность того, что наудачу выбранный компьютер потребует гарантийного ремонта.

б) Компьютер проработал без сбоев в течение гарантийного срока. Найти вероятность того, что он был произведён второй фирмой.

9. Пусть всхожесть семян данного растения составляет 90%. Найти вероятность того, что: а) из пяти посеянных семян взойдут три; б) из шести семян взойдут не более двух; в) из девяти семян не взойдет хотя бы одно; из 100 семян не взойдут 8; из 500 семян взойдут не менее 450.

Найти наивероятнейшее число всхожих семян из восьми семян, отобранных случайным образом, и соответствующую вероятность.

. На некотором поле у 15 % кустов картофеля стебли поражены фитофторой.

Составить ряд распределения случайной величины Х – числа поражённых фитофторой кустов картофеля из трёх кустов, отобранных случайным образом.

11. Случайная величина Х задана законом распределения:

	-1	1	4	5
	0,1	0,5		0,2

а) Найти , М(Х), D(X), ; найти функцию распределения и построить её график.

12. Даны числовые характеристики двух независимых случайных величин: , , , . Найти , , где .

13.⃰ Решите задачу в предположении, что непрерывная случайная величина Х распределена по нормальному закону.

Пусть Х – процент жира в молоке коров некоторой фермы. Средний процент жира в молоке а = 3,2, а среднее квадратическое отклонение σ = 0,25. Найти вероятность того, что процент жира в молоке будет: а) не менее 2,8 и не более 3,3; б) более 3,1. Найти интервал, в который с вероятностью 0,9973 попадут значения случайной величины Х.

Вариант 1

1. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков меньше девяти.

2. Из колоды карт (36 штук) случайным образом последовательно извлекают четыре карты. Найти вероятность того, что первые две карты крестовые, третья бубновая, а четвёртая – семёрка пик.

3. Всхожесть семян некоторой культуры составляет 75%. Найти вероятность того, что из девяти посеянных семян взойдут шесть.

4. Случайная величина Х задана законом распределения:

	-1	1	3	Найти , , где , ;
	0,3	0,4	0,3	Х и Y – независимые случайные величины.

5. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с параметрами , .

а) Запишите функцию плотности распределения вероятностей случайной величины Х;

б) найдите вероятность события, состоящего в том, что случайная величина Х примет значение из интервала .

Вариант 2

1. Задумано двузначное число. Найти вероятность того, что оно не кратно 18.

2. Из карточек с буквами составлено слово ХОРОШО. Карточки перемешивают, наугад вынимают пять из них и раскладывают в ряд. Найти вероятность того, что получится слово ШОРОХ.

3. Вероятность того, что деталь бракованная, равна 0,2. Найти вероятность того, что из десяти проверенных деталей семь окажутся качественными.

4. Случайная величина Х задана законом распределения:

	2	3	4	Найти , , где , ,
	0,3	0,5	0,2	; Х и Y – независимые случайные величины.

5. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с параметрами , .

а) Запишите функцию плотности распределения вероятностей случайной величины Х;

б) найдите вероятность события, состоящего в том, что случайная величина Х примет значение из интервала .

Вариант 3

1. В пачке 20 лотерейных билетов, среди которых 3 выигрышных. Найти вероятность того, что два из шести выбранных наудачу билетов окажутся выигрышными.

2. Один станок работает без сбоев в течение смены с вероятностью 0,7, другой — с вероятностью 0,9. Найти вероятность того, что хотя бы один из станков выйдет из строя.

3. 15 % урожая яблок поражено личинкой моли. Какова вероятность, что среди выбранных случайным образом восьми яблок поражено два яблока?

4. Случайная величина Х задана законом распределения:	x	-2	-1	1	2
Найти , М(Х), D(X).	p	0,2	0,4	0,3

5. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с параметрами , .

а) Запишите функцию плотности распределения вероятностей случайной величины Х;

б) найдите вероятность события, состоящего в том, что случайная величина Х примет значение из интервала .