Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Гипотегы о средних. Сравнение двух средних.doc
Скачиваний:
28
Добавлен:
24.03.2015
Размер:
272.9 Кб
Скачать

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«МАТИ» - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени К.Э. ЦИОЛКОВСКОГО

Кафедра «Моделирование систем и информационные технологии»

Проверка статистических гипотез.

Гипотезы о средних (о математических ожиданиях).

Сравнение двух средних.

Методические указания к практическим занятиям

по дисциплине «Математическая статистика»

Составители: Егорова Ю.Б.

Мамонов И.М.

МОСКВА 2009

Проверка статистических гипотез. Гипотезы о средних (о математических ожиданиях). Сравнение двух средних: Методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Математическая статистика»/ Ю.Б. Егорова, И.М. Мамонов. М.: МАТИ, 2009. – 16 с.

Егорова Ю.Б.,

Мамонов И.М.,

составление, 2009

МАТИ, 2009

ВВЕДЕНИЕ

Методические указания предназначены для студентов дневного отделения факультета №14 специальностей 230102, 220231 и являются учебным руководством при выполнении индивидуального задания.

  1. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О СРАВНЕНИИ ДВУХ

ГЕНЕРАЛЬНЫХ СРЕДНИХ (ДВУХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОЖИДАНИЙ)

1.1. Генеральные дисперсии известны (большие независимые выборки n≥30)

Пусть генеральные совокупности исследуемых случайных величин Х и Y распределены нормально: Х~N(mхх) и Y~N(myy). Предположим, что генеральные дисперсии D(X) и D(Y) известны, например, по многолетним наблюдениям, или заданы по проекту, или найдены теоретически, или вычислены по выборкам большого объема (n≥30). Из генеральных совокупностей Х и Y сделаем выборки объемами n1 и n2. Найдем соответственно выборочные средние и.

При заданном уровне значимости α необходимо проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что выборочные средние различаются незначимо, т.е. математические ожидания (генеральные средние) равны между собой:

Но: М(Х)=М(Y).

Сравнение производится с помощью специально подобранной случайной величины – статистического критерия Z, имеющего нормированный нормальный закон распределения с параметрами М(Z)=0, σ( Z)=1:

Критическая область строится в зависимости от вида альтернативной (конкурирующей) гипотезы.

Первый случай.

Выдвигаем нулевую гипотезу Но: М(Х)=М(Y).

Выдвигаем альтернативную гипотезу Н1: М(Х)≠М(Y).

В этом случае строят двустороннюю критическую область.

Порядок проверки нулевой гипотезы:

  1. по выборке определяем наблюдаемое значение критерия .

  2. по таблице функции Лапласа (см. Приложение 1) определяем критическое значение критерия из равенства

  3. Если , то нулевая гипотеза принимается.

Если , то нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная.

Второй случай.

Выдвигаем нулевую гипотезу Но: М(Х)=М(Y).

Выдвигаем альтернативную гипотезу Н1: М(Х)>М(Y).

В этом случае строят правостороннюю критическую область.

Порядок проверки нулевой гипотезы:

  1. по выборке определяем наблюдаемое значение критерия.

  2. по таблице функции Лапласа (см. Приложение 1) определяем критическое значение критерия из равенства

  3. Если , то нулевая гипотеза принимается.

Если , то нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная.

Третий случай.

Выдвигаем нулевую гипотезу Но: М(Х)=М(Y).

Выдвигаем альтернативную гипотезу Н1: М(Х)<М(Y).

В этом случае строят левостороннюю критическую область.

Порядок проверки нулевой гипотезы:

  1. по выборке определяем наблюдаемое значение критерия.

  2. по таблице функции Лапласа (см. Приложение 1) определяем критическое значение критерия из равенства

  3. Если , то нулевая гипотеза принимается.

Если , то нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная.

ПРИМЕР 1. Для проверки эффективности новой технологии отобраны две группы рабочих. В первой группе рабочих численностью 50 человек, где применялась новая технология, выборочная средняя выработка составила 85 изделий. Во второй группе численностью 70 человек выборочная средняя составила 78 изделий. Генеральные дисперсии в группах соответственно равны 100 и 74 (изделия)2. При уровне значимости 0,05 необходимо выяснить значимо ли влияние новой технологии на среднюю выработку.

РЕШЕНИЕ. По условию n1=50; изд.;D(X)=100 изд.2;

n2=70; изд.;D(Y)=74 изд.2, α=0,05. Выдвигаем нулевую гипотезу Но: М(Х)=М(Y). Относительно альтернативной гипотезы возможны два случая: а) М(Х)≠М(Y); б) Н1: М(Х)>М(Y) (так как ). Рассмотрим эти случаи.

а) Но: М(Х)=М(Y)

Н1: М(Х)≠М(Y).

В этом случае строят двустороннюю критическую область.

Порядок проверки нулевой гипотезы:

  1. по выборке определяем наблюдаемое значение критерия:

  1. по таблице функции Лапласа (см. Приложение 1) определяем критическое значение критерия из равенства

3) Так как , то нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная.

б) Но: М(Х)=М(Y).

Н1: М(Х)>М(Y).

В этом случае строят правостороннюю критическую область.

Порядок проверки нулевой гипотезы:

  1. по выборке определяем наблюдаемое значение критерия

  2. по таблице функции Лапласа (см. Приложение 1) определяем критическое значение критерия =1,645 из равенства

3) Так как , то нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная.

Таким образом, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что выборочные средние различаются значимо и, следовательно, новая технология позволяет повысить среднюю выработку рабочих.

1.2. Генеральные дисперсии неизвестны (малые независимые выборки n<30)

Пусть генеральные совокупности исследуемых случайных величин Х и Y распределены нормально: Х~N(mхх) и Y~N(myy).

Генеральные дисперсии D(X) и D(Y) неизвестны, но можно полагать, что равны между собой*.

Из генеральных совокупностей Х и Y сделаем выборки объемами n1 и n2. Найдем соответственно выборочные средние ии «исправленные» дисперсиии.

При заданном уровне значимости α необходимо проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что выборочные средние различаются незначимо, т.е. математические ожидания (генеральные средние) равны между собой:

Но: М(Х)=М(Y).

Сравнение производится с помощью специально подобранной случайной величины – статистического критерия Т, имеющего закон распределения Стьюдента с k=n1+n2-2 степенями свободы:

Критическая область строится в зависимости от вида альтернативной (конкурирующей) гипотезы.

Первый случай.

Выдвигаем нулевую гипотезу Но: М(Х)=М(Y).

Выдвигаем альтернативную гипотезу Н1: М(Х)≠М(Y).

В этом случае строят двустороннюю критическую область.

Порядок проверки нулевой гипотезы:

  1. по выборке определяем наблюдаемое значение критерия .

  2. по таблице критических точек распределения Стьюдента (см. Приложение 2) определяем критическое значения критерия для двусторонней критической области в зависимости от уровня значимостиα и числа степеней свободы k=n1+n2-2.

  3. Если , то нулевая гипотеза принимается.

Если , то нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная.

Второй случай.

Выдвигаем нулевую гипотезу Но: М(Х)=М(Y).

Выдвигаем альтернативную гипотезу Н1: М(Х)>М(Y).

В этом случае строят правостороннюю критическую область.

Порядок проверки нулевой гипотезы:

  1. по выборке определяем наблюдаемое значение критерия .

  2. по таблице критических точек распределения Стьюдента (см. Приложение 2) определяем критическое значение критерия для односторонней критической области в зависимости от уровня значимостиα и числа степеней свободы k=n1+n2-2.

  3. Если , то нулевая гипотеза принимается.

Если , то нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная.

Третий случай.

Выдвигаем нулевую гипотезу Но: М(Х)=М(Y).

Выдвигаем альтернативную гипотезу Н1: М(Х)<М(Y).

В этом случае строят левостороннюю критическую область.

Порядок проверки нулевой гипотезы:

1) по выборке определяем наблюдаемое значение критерия .

  1. по таблице критических точек распределения Стьюдента (см. Приложение 2) определяем критическое значение критерия для односторонней критической области в зависимости от уровня значимостиα и числа степеней свободы k=n1+n2-2.

  2. Если , то нулевая гипотеза принимается.

Если , то нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная.

ПРИМЕР 2. Технологи механосборочного цеха считают, что применение нового резца позволит сократить время обработки детали. Пять деталей были изготовлены старым резцом. Среднее время обработки одной детали составило 3,3 мин с «исправленной» дисперсией 0,25 мин2. Шесть деталей были изготовлены новым резцом. Среднее время обработки одной детали составило 2,48 мин с «исправленной» дисперсией 0,108 мин2. При уровне значимости 0,05 проверьте, позволило ли использование нового типа резцов сократить время обработки детали.

РЕШЕНИЕ. По условию n1=5; мин;мин.2; n2=6; мин;мин2, α=0,05. Генеральные дисперсии неизвестны, но будем полагать, что они одинаковы*.

Выдвигаем нулевую гипотезу Но: М(Х)=М(Y). Относительно альтернативной гипотезы возможны два случая: а) М(Х)≠М(Y); б) Н1: М(Х)>М(Y) (так как ). Рассмотрим эти случаи.

а) Но: М(Х)=М(Y)

Н1: М(Х)≠М(Y).

В этом случае строят двустороннюю критическую область.

Порядок проверки нулевой гипотезы:

  1. по выборке определяем наблюдаемое значение критерия :

  1. по таблице критических точек распределения Стьюдента (см. Приложение 2) определяем критическое значение критерия =2,26 для односторонней критической области в зависимости от уровня значимостиα=0,05 и числа степеней свободы k=n1+n2-2=5+6-2=9.

  2. Так как , то нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная.

б) Но: М(Х)=М(Y).

Н1: М(Х)>М(Y).

В этом случае строят правостороннюю критическую область.

Порядок проверки нулевой гипотезы:

  1. по выборке определяем наблюдаемое значение критерия

  2. по таблице критических точек распределения Стьюдента (см. Приложение 2) определяем критическое значение критерия =1,83 для односторонней критической области в зависимости от уровня значимостиα=0,05 и числа степеней свободы k=n1+n2-2=5+6-2=9.

  3. Так как , то нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная.

Таким образом, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что выборочные средние различаются значимо и, следовательно, использование нового типа резцов позволило сократить время обработки детали.

ПРИМЕР 3. Годовой оборот 4 бирж в регионе А составил 120 тыс. у.е., а в регионе В годовой оборот 5 бирж – 125 тыс. у.е. Исправленная выборочная дисперсия в регионе А оказалась равной 30 тыс. у.е., в регионе В – 20 тыс. у.е. Можно ли при уровне значимости 0,05 утверждать, что средний оборот бирж в регионе А меньше, чем в регионе В?

РЕШЕНИЕ. По условию n1=4; тыс. у.е..; тыс. у.е.2; n2=5; тыс. у.е.; тыс. у.е.2. Генеральные дисперсии неизвестны, но будем полагать, что они одинаковы*.

Выдвигаем нулевую гипотезу Но: М(Х)=М(Y).

Выдвигаем альтернативную гипотезу Н1: М(Х)<М(Y).

В этом случае строят левостороннюю критическую область.

Порядок проверки нулевой гипотезы:

  1. по выборке определяем наблюдаемое значение критерия :

  1. по таблице критических точек распределения Стьюдента (см. Приложение 2) определяем критическое значение критерия =1,89 для односторонней критической области в зависимости от уровня значимостиα=0,05 и числа степеней свободы k=n1+n2-2=4+5-2=7.

  2. Так как , то нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная.

Таким образом, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что выборочные средние различаются значимо и, следовательно, средний оборот бирж в регионе А меньше, чем в регионе В.