Специальные главы математики. Вопросы
..docСпециальные главы математики. Вопросы к экзамену.
-
Алгебраические системы. Множества: конечные и бесконечные. Подмножества. Отношение включение и его свойства. Равенство множеств. Характеристическая функция подмножества.
-
Пустое множество. Множество – степень. Размер множества степени конечного множества.
-
Парадоксы теории множеств.
-
Бинарные и унарные операции. Фундаментальные теоретико-множественные операции. Дополнительные множества. Диаграммы Венна. Число элементов в объединении множеств.
-
Булевы алгебры и 10 определяющих их законы. Соответствие логических и теоретико-множественных операций.
-
Функции. Образ функции. Композиция функций. Сюръекция, биекция и инъекция. Упорядоченные пары и энка.
-
Бинарные и n-нарные отношения. Области определения и значения бинарного отношения. Прямое (декартово) произведение множеств. Обратное отношение. Композиция бинарных отношений и её свойства.
-
Определение функции через бинарное отношение. Равенство функции. Обратная функция и условие её существования. Свойство биекции. Принцип Дирихле.
-
Свойство бинарных отношений: рефлексивность, симметричность, транзитивность и антисимметричность. Отношение эквивалентности. Классы эквивалентности. Фактор-множество.
-
Отношение частичного порядка. Отношение покрытия. Диаграммы Хассе.
-
Полугруппа. Моноиды. Обратимые элементы моноида.
-
Группы. Абелевы группы. Таблицы Кэли. Подгруппы. Порядок группы. Свойство пересечения подгрупп.
-
Множество образующих. Циклические подгруппы и группы, их свойства. Группа классов вычетов по модулю «n».
-
Подстановки. Произведение подстановок. Симметрическая группа степени “n”, её порядок. Циклы. Разложение подстановки в произведение циклов. Орбиты. Транспозиции.
-
Изоморфизм групп. Свойства изоморфизмов. Теорема Кэли.
-
Смежные классы. Теорема Лагранжа. Нормальные подгруппы. Произведение множеств. Фактор-группа и её свойства.
-
Кольцо. Подкольцо. Порядок кольца. Нулевой элемент кольца. Свойства колец.
-
Поле. Характеристика и порядок поля. Поле комплексных чисел.
-
Кольцо многочленов. НОД и НОК многочленов. Алгоритм Евклида. Неприводимость и взаимная простота многочленов. Алгебраическая замкнутость поля. Основная теорема алгебры.
-
Булевы функции. Теорема о числе все булевых функций от «n» переменных. Фиктивные и существенные переменные. ‘Элементарные’ булевы функции.
-
Формулы. Операция суперпозиции. Эквивалентность формул. Свойства конъюнкции, дизъюнкции и отрицания.
-
Принцип двойственности. Теорема о разложении булевой функции по переменным. СДНФ и СКНФ.
-
Полнота и замкнутость функциональных систем. Полиномы Жегалкина. Важнейшие полные системы булевых функций. Замыкание и его свойства.