математическое моделирование / Вопрос 22, 23

Вопрос № 22 Примеры оптимизационных задач с неопределенностью.

Методика принятия решения в условиях неопределенности или риска.

В рамках исследуемой проблемной ситуации анализируемый субъект экономики как правило подвержен воздействию внешних факторов. При этом точные значения этих факторов (т.е. конкретное состояние внешней среды) заранее неизвестны. В этом случае лицо принимающее решение должно выявить возможные состояния внешней среды и оценить эффективность каждого из своих возможных решений в различных условиях. После чего необходимо выбрать предпочтительное решение. Если при этом известны вероятности состояний внешней среды, то такие условия называют условиями риска, а если неизвестны – то неопределенности.

Этапы принятия решений в условиях риска или неопределенности:

1. Формирование цели принятия решения;

2. Построение экономико-математической модели задачи принятия решения (происходит так же, как и в случае определенности внешних факторов);

3. Формирование множества альтернативных решений;

4. Выявление неопределенных внешних факторов, влияющих на достижение цели, формирование возможных состояний внешней среды;

5. Расчет эффективности вариантов решения при различных состояниях внешней среды, формирование матрицы ценности альтернатив;

6. Оценка вероятности состояний внешней среды (если возможно);

7. Выбор предпочтительного варианта решения.

Матрица ценности альтернатив имеет вид:

Таблица 2.1.

Номер альтернативного решения	Номер состояния внешней среды
	1	…	j	…	m
1		…		…
i		…		…
n		…		…

В этой матрице величина обозначает ценность i-го решения при реализации j-го состояния внешней среды.

Для каждой альтернативы можно найти ее пессимистичную и оптимистичную оценки (соответственно наименьшее и наибольшее значения в соответствующей строке матрицы).

2.3. Выбор решения в условиях неопределенности

Для этого существует ряд критериев: максиминный критерий Вальда, максимаксный критерий («оптимистический»), критерий Гурвица, критерий Лапласа.

Критерий Вальда соответствует пессимистической оценке: выбирается та альтернатива, для которой пессимистическая оценка наибольшая, т.е. максимум из минимумов, лучшая из худших. .

Максимаксный критерий: выбирается альтернатива с наибольшей оптимистической оценкой (лучшая из лучших).

Критерий Гурвица (взвешенный критерий): альтернативы оцениваются согласно выражению ., где – коэффициент оптимизма. Значение =0 соответствует пессимистичной оценке (т.е. критерию Вальда), =1 соответствует оптимистичной оценке (т.е. максимаксному критерию). Промежуточные значения  соответствуют взвешенному, т.е. пессимистично-оптимистичному, взвешенному подходу. Задав фиксированное значение коэффициента оптимизма, выбирают альтернативу с наибольшей оценкой.

Критерий Лапласа: альтернативы оцениваются с учетом всего диапазона ценностей (а не только худшего и/или лучшего значений): . Выбирается альтернатива с наибольшей оценкой.

Вычисления можно проводить вручную, а можно использовать табличный процессор Excel.

2.4. Числовой пример:

Матрица ценностей представлена в табл. 2.2. Там же приведены значения критериев. Лучшие по каждому из критериев решения показаны жирным шрифтом:

Таблица 2.2.

Номер альтернативного решения	Состояние внешней среды		Критерий
	1.Конкурен­ция на преж­нем уровне	2.Конкурен-ция усилилась	Критерий Вальда	Максимакс­ный	Критерий Гурвица (	Критерий Лапласа
1.Продолжать работу в обычном режиме	125	90	90	125	104	112,5
2.Усилить рекламную деятельность	120	95	95	120	105	112,5

2.5. Методика принятия решения в условиях риска.

Если каким-либо образом (например, экспертным методом) оценены вероятности состояний внешней среды (), то для оценки альтернативных решений используются критерии Байеса-Лапласа или Ходжеса-Лемана:

Критерий Байеса-Лапласа: ,

Критерий Ходжеса-Лемана: , где – коэффициент доверия к вероятности (т.е. к экспертам).

Вероятностные модели управления запасами. - вопрос 23

Модель управления запасами классифицируется от характера спроса, который может быть детерминированным, либо вероятностным. Типы моделей управления запасами зависят от характера спроса.

Вероятностный спрос может быть стационарным, т.е. плотность вероятности спроса не изменяется с течением времени, и нестационарным, когда функция плотности распределения вероятности спроса изменяется со временем.

Вероятностные модели управления запасами, основания на пополнение уровня обслуживания.

Резервный запас – это величина постоянно поддерживаемая дополнительно к ожидаемой потребности.

Уровень обслуживания – это доля или процент от общей величины спроса, которые можно реально получить из резервного запаса.

Если наибольшая годовая потребность в каком-либо изделии составляет 1000 штук, то 95% уровень обслуживания будет означать, что 950 штук можно будет получить из наличного запаса, а 50 штук не хватит.

Концепция уровня обслуживания основана на статистической характеристике, называемой ожидаемая «Z», или E (Z).

E (Z) – это ожидаемое количество изделий, которых может не хватать на протяжении каждого интервала времени выполнения заказа.

Значения E (Z) сведены в таблицу. Статистическая таблица (таблица Брауна) показывает зависимость ожидаемого дефицита изделий E (Z) от резервного запаса, выраженная в стандартных отклонениях спроса. Табличные значения приведены к стандартному отклонению спроса = 1.

Модель с фиксированным объёмом заказа и концепция уровня обслуживания.

При использовании такой стратегии уровень запаса отслеживается непрерывно. Опасность исчерпания запаса возникает здесь только в течение времени выполнения заказа (в течение заготовительного периода).

В течение периода возможны колебания спроса. Этот диапазон вычисляется либо на основе анализа ретроспективных данных, либо на основе некоторой предположительной оценки (если данные за прошедшие периоды невозможно получить).

Величина резервного запаса зависит от требуемого уровня обслуживания. Объем партии заказа q вычисляется обычным способом. Затем устанавливается "точка заказа", которая учитывает ожидаемую потребность в течение заготовительного периода, плюс резервный запас, определяемый требуемым уровнем обслуживания.

 

Важнейшее различие между моделью, в которой спрос является постепенным, и вероятностной моделью заключается в порядке выполнения точки заказа. Объём партии (q) будет одинаков, а элемент неопределённости учитывается путём установления резервного запаса.

Точка заказа S определяется по формуле:

      (17)

- средняя потребность в единицу времени;

- средняя продолжительность заготовительного периода;

z - число стандартных отклонений спроса в резервном запасе для заданного уровня обслуживания;

      - стандартное отклонение спроса в течение заготовительного периода.

Значение  определяется в зависимости от условий задачи по одной из 3 формул. Первая формула применяется, если изменяется только спрос, а продолжительность заготовительного периода постоянна.

           (18)

     - стандартное отклонение спроса в единицу времени.

Если изменяется только заготовительный период, а спрос постоянен, то:

           (19)

Когда изменяется и спрос и заготовительный период, то:

           (20)

Чтобы определить значение z вычисляется E(z) – величина дефицита, удовлетворяющая данному уровню обслуживания, затем по таблице Брауна определяется величина z.

          (21)

E(z) ожидаемый дефицит изделий в каждом цикле заказа

r - требуемый уровень обслуживания

q – объем партии, рассчитанный по формуле Уилсона

Модель с фиксированной периодичностью и концепция уровня обслуживания.

Модель с фиксированной периодичностью предполагает, что размеры заказов различны для разных циклов. Таким образом, размер запаса регулируется за счет изменения объема партии. Возобновление же заказа определяется временем. Следовательно, модель с фиксированной периодичностью должна иметь защиту от исчерпания запасов (резервный запас) не только на время исполнения заказа, но и на весь последующий цикла заказа.

Таким образом, модель с фиксированной периодичностью больше нуждается в резервном запасе, чем модель с фиксированным размером партии.

Рассмотренную ситуацию с переменным спросом и с постоянной продолжительностью заготовительного периода. Объемов заказов такой модели можно представить

   (22),(23),(24)

l – промежуток времени между подачей заявок

 – отклонение спроса в период времени в течении цикла заказа и заготовительного периода

Z – текущий уровень запаса