математическое моделирование / 31
.docКлассическая задача управления запасами. Задачей управления запасами называется оптимизационная задача, в которой предполагаются известными данные о поставках товара на склад, спросе на товар, издержках и условиях хранения товарных запасов.
Требуется оптимизировать работу склада по заданному критерию оптимизации.
Рассмотрим эту задачу в так называемой классической постановке. Выберем за единичный интервал времени один день. Пусть к концу дня t – 1 на складе находится запас в объеме xt-1 ≥ 0. Склад делает заказ на пополнение запаса товара в объеме ht. Это пополнение поступает к началу следующего дня t, так что запас товара в начале следующего дня составляет х1 + ht. Пусть St – объем товара, запрашиваемый потребителем (или потребителями) в день t (объем заявки).
Если St ≤ xt-1 + ht, то склад удовлетворяет заявку потребителя полностью, а остатки товара (хt = xt-1 + + ht - St) переносятся на следующий день (t + 1), причем издержки хранения этого запаса пропорциональны его объему, т.е. С · xt = С (xt-1 + ht – St).
Если объем заявки St > xt-1 + ht, то склад полностью отдает свой запас, а за недопоставленный товар несет потери (например, штрафуется за дефицит), пропорциональные объему дефицита, т.е. k (St - xt-1 - - ht) = - k (xt-1 + ht – St).
Таким образом, полные издержки φ(xt-1, ht, St) склада можно записать в виде:
При этом остаток товара таков:
Из уравнения (25.50) следует: если хt-1 > 0, то φ(xt) = c · xt; если xt < 0, то φ(xt) = -k · xt; если хt = 0, то φ(xt) = 0.
В классической постановке задачи управления запасами предполагается, что сама величина спроса St неизвестна, однако она является независимой случайной величиной, имеющей заданный закон распределения. Пусть распределение вероятностей величины St задается непрерывной функцией распределения F(x) с плотностью распределения f(x). Тогда средние полные издержки Ф (xt-1 + ht) задаются следующей формулой (М – математическое ожидание):
Задача ставится таким образом: определить объем заказа на пополнение ht, минимизирующий средние полные издержки, т.е.:
где ht ≥ 0.
Если обозначить у = хt-1 + ht, то в случае статической постановки классической задачи управления запасами уравнение для определения минимизирующего запаса у* имеет вид:
Решение (25.52) задачи (25.51) определяет стратегию оптимального пополнения запасов. Величина пополнения запасов h*t, минимизирующая средние полные издержки, задается следующим образом:
Конкретные числовые характеристики системы управления запасами зависят от вида функции плотности распределения f(x) случайной величины спроса. В качестве примера рассмотрим случай симметричного «треугольного распределения» спроса, при котором функция плотности распределения получается в виде графика, представленного на рис 25.1А. Очевидно, что этот график получается параллельным при переносе вправо (т.е. заменой х на х - а) графика, изображенного на рис. 25.1Б, при этом функция принимает следующий вид:
Рис. 25.1. Функция плотности распределения в графическом виде
График функции средних полных издержек для такой функции спроса в случае к > с представлен на рис. 25.2, где оптимальный уровень запаса можно выразить уравнением:
Рис. 25.2. Функция средних полных издержек в графическом виде
В общем виде для данной функции плотности распределения спроса оптимальный уровень запаса задается условиями:
Значение Ф* = Ф (у*) минимума средних полных издержек имеет вид:
Из формул (25.55) и (25.56) для данной модели следует, что оптимальный уровень запаса при с ≠ k и минимум средних полных издержек при всех с и k линейно зависят от величины b, т.е. от длины интервала, в котором заключен разброс значений величины спроса на товар.
Напомним, что стратегия оптимального пополнения запасов задается формулами (25.53).
Рассмотрим пример. Пусть некоторая фирма в соответствии с договором реализует со склада по заявкам холодильники, причем ежедневный спрос является случайной величиной, функция плотности распределения которой представлена графически на рис. 25.1А, и колеблется от 20 до 80 холодильников в день. Средние издержки хранения одного холодильника в день составляют 8 руб., а штраф за дефицит (недопоставку) одного холодильника в день равен 17 руб. Требуется определить стратегию оптимального пополнения запаса холодильников и минимальные средние полные издержки.
Задаем следующие условия рассматриваемой задачи:
В соответствии с формулой (25.55) оптимальный уровень запаса (с < k) составляет следующую величину:
Тогда величина h*t пополнения запаса холодильников, при которой средние полные издержки будут минимальны, задается в соответствии с формулой (25.53) следующими условиями:
где xt-1 – запас холодильников на складе фирмы на конец предыдущего дня.
Так, если на конец предыдущего дня на складе фирмы было 60 холодильников, то пополнять запас не следует, а если на конец предыдущего дня на складе оставалось 25 холодильников, то следует реализовать заказ на пополнение запаса холодильников таким образом: 56 – 25 = 31.
Если придерживаться этой стратегии пополнения запаса, то минимальный уровень средних полных издержек в расчете на один день в соответствии с формулой (25.56) составит:
Принципиальные системы регулирования товарных запасов. Рассмотренная в предыдущем параграфе классическая задача управления запасами иллюстрирует общий теоретический подход к задаче регулирования запасов. В практической деятельности организации и служб маркетинга используются более простые принципиальные системы регулирования товарных запасов, основанные на различных стратегиях пополнения запасов, т.е. на определенных правилах этого пополнения, выраженных в достаточно общей форме. Параметрами их являются величина имеющихся на складе запасов, допустимые колебания уровня запасов, размеры заказа на пополнение запасов, его периодичность и др. Системы различаются между собой в зависимости от того, какие из параметров выбраны в качестве регулирующих. Принципиальные системы регулирования запасов, используемые в практике маркетинга, подробно описаны во многих учебниках и пособиях*. Поэтому дадим лишь краткий обзор этих систем.