НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Выполнили: Метлинова Мария Овчинников Александр Группа: ГМб­21

НЕЛИНЕЙНОЕ

ПРОГРАММИРОВАНИЕ

НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ [nonlinear programming] — раздел математического программирования, изучающий методы решения экстремальных задач с нелинейной целевой функцией и (или) областью допустимых решений, определенной нелинейными ограничениями. В экономике это соответствует тому, что результаты (эффективность) возрастают или убывают непропорционально изменению масштабов использования ресурсов (или, что то же самое, масштабов производства): напр., из­за деления издержек производства на предприятиях на переменные и условно­постоянные; из­за насыщения спроса на товары, когда каждую следующую единицу продать труднее, чем предыдущую; из­за влияния экстерналий ( воздействие рыночной транзакции на третьих лиц, не опосредованное рынком) и т. д.

НЕЛИНЕЙНОЕ

ПРОГРАММИРОВАНИЕ

В общем виде задача нелинейного программирования описывается с помощью следующей модели нелинейного программирования :

Задача (1)­(3) называется задачей нелинейного программирования в стандартной форме на максимум.

НЕЛИНЕЙНОЕ

ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Может быть сформулирована также задача НЛП на минимум.

Вектор x =( x1, x2, ..., xn ) , компоненты x j которого удовлетворяют ограничениям (2) и (3) , называется допустимым решением или допустимым планом задачи нелинейного программирования.

Совокупность всех допустимых планов называется множеством допустимых планов.

Допустимое решение задачи нелинейного программирования, на котором целевая функция

(1) достигает максимального значения,

называется оптимальным решением задачи НЛП.

НЕЛИНЕЙНОЕ

ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Возможные местонахождения максимального значения функции F(x) при наличии ограничений (2) и (3) определяются следующим общим принципом. Максимальное значение F(x), если оно существует, может достигаться в одной или более точках, которые могут принадлежать следующим множествам:

S1={(x 1 ,…,x n): (x 1 ,…,x n) – внутренняя точка в области допустимых решений, в которой (точке) все первые частные производные Fxj =0 , j = 1,2,...,n },

S2 ={(x 1 ,…,x n): (x 1 ,…,x n) – точка границы допустимой области},

S3 ={(x 1 ,…,x n): (x 1 ,…,x n) – точка допустимой области, в которой функция F(x) не дифференцируема}.

НЕЛИНЕЙНОЕ

ПРОГРАММИРОВАНИЕ

В отличие от задач линейного программирования, любая из которых может быть решена с помощью симплекс метода, не существует одного или нескольких алгоритмов, эффективных для решения любых нелинейных задач. Какой ­ либо алгоритм может оказаться чрезвычайно эффективным для решения задач одного типа и неудачным для задач другого типа. Эффективность алгоритма может даже существенно зависеть от постановки задачи, например, от изменения масштабов измерения тех или иных переменных. Поэтому алгоритмы разрабатываются для каждого класса (типа) задач. При этом программы, ориентированные на решение определенного класса задач, , как правило, не гарантируют правильность решения любых задач данного класса и оптимальность решения рекомендуется проверять в каждом конкретном случае.

ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

Задачи нелинейной оптимизации называемые иначе (оптимизационными задачами нелинейного программирования) – математические модели которых содержат нелинейные зависимости от переменных. Источники нелинейности в задачах подобного типа могут относиться, в частности, к одной из двух категорий.

ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ.

Категория № 1:

Реально существующие и эмпирически наблюдаемые нелинейные соотношения, например непропорциональные зависимости между объемом производства и затратами, между количеством используемого в производстве компонента и некоторыми показателями качества готовой продукции, между затратами сырья и физическими параметрами (давление, температура и т.п.) соответствующего производственного процесса, между выручкой и объемом реализации и т.п.

ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

Категория № 2:

Установленные (постулируемые) руководством правила поведения или задаваемые зависимости, например, правила расчета с потребителями энергии или других видов услуг, правила определения страховых уровней запаса продукции, гипотезы о характере вероятностного распределения рассматриваемых в модели случайных величин, различного рода договорные условия взаимодействия между партнерами по бизнесу и др.

КЛАССИФИКАЦИЯ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Вид F(x)	Вид функции	Число	Название
	ограничений	переменных	задачи
Нелинейная	Отсутствуют	1	Безусловная
			однопараметрическ
			ая оптимизация
Нелинейная	Отсутствуют	Более 1	Безусловная
			многопараметричес
			кая оптимизация
Нелинейная	Нелинейные или	Более 1	Условная
или линейная	линейные		нелинейная
			оптимизация