Билет № 20.
1). Оценка скорости сходимости метода простых итераций для систем линейных алгебраических уравнений в "явной" форме, оценка точности приближения к решению.
2). Представление таблично заданной функции сплайнами.
Оценка скорости сходимости метода простых итераций для системы линейных алгебраических уравнений в "явной" форме. Оценка точности приближения. Эта запись справедлива для любого p При р→∞ получим оценку:
Таким образом: и Скорость сходимости пропорциональна геометрической прогрессии С другой стороны , поэтому скорость сходимости линейная (геометрическая прогрессия) Оценка погрешности нахождения решений 1/ε Мажоритарная оценка редко используется на практике, так как дает завышенные результаты Опосториорная оценка: Условия: - оценка для zk-1
- Опосториорная оценка
|
Представление таблично заданной функций сплайнами.
g1, g2, … gn - функции Сплайн gi = ki1 + ki2 x + ki3 x2 + ki4 x3 – кубический сглаживающий сплайн
неизвестные: ki1 … ki4
Получаем (4n-2) уравнения – недостающее уравнение – уравнение производных для точки х0, равное нулю ,
|
Билет № 21.
1). Теорема о возможности перехода от СЛАУ в "неявной" форме к СЛАУ в "явной" форме. Матрицы с диагональным преобладанием.
2). Решение системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка численно-аналитическим методом.
Теорема о возможности перехода от СЛАУ в «неявной» форме к СЛАУ в «явной». Матрица с диагональным преобладанием.
Теорема о возможности перехода от системы (1)Ax=y =>x=αx+β (2); ||α||<1 Для любой системы вида(1) с невырожденной матрицей возможен переход к системе (2), такой, что норма матрицы 2<1
D=A^-1 +B – невырождена по непрерывности Dax=Dy
DetD не равен 0
(A^-1 +B)Ax=Dx A^-1 Ax= BAx=Dy X=-BAx+ Dy
||α||<или = ||B|| ||A||
1>||α||<или =||B|| ||A|| Теоретически такой переход всегда сущесвует. Но на практике такой переход требует:
Если А- матрица с диагональным преобладанием то переход производится тривиальным образом
|3 2 1 | Q=E-2*S*S^-T A=|4 2 2 | |-1 6 -1 |
A=[A1,A2,A3] QA=Q[A1,A2,A3] 1 Q: x-> 0 *α, α=||x|| 0
S- растояние от исходной матрицы до получаемой
S=(x-αy)* 1\λ ( | 3 | |1| ) S= ( | 4 | - |0| * ||x|| ) * 1\λ ( | 1 | |0| )
Теорема Система с диагональным преобладанием всегда разрешима и притом единственным образом.
|
Решение системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений 1-ого порядка численно-аналитическим методом.
Запись Коши: x(t)+Ax(t)=y(t) x(0)=x0 A1x(t)+A0x(t)=y(t) x(0)=x0
От дифференцируемого уровненияn-ого порядка можно перейти к системе nдифференцированому уравнению 1ого порядка. Решение такого уравнения ищется как сумма общих решений однородных систем. 1)A1x(t)+A0x(t)=0 x=a1e^λ1t * B1+...+ane^ λnt *Bn det[A1 λ1+A0]=0,i=1,m [A1 λi+A0]Bi=0, i=i,n B,n- произв. числа
A1*d\dt *(a1e^λ1t B1+...+ ane^λntBn)+A0(a1e^λ1t B1+...+ane^λntBn)= a1e^λ1t [A1 λ1+A0]B1 +...+an^λnt (A1λ1+A0)B0=0 Если нет кратных собственных значений в матрице Алгебраическая кратность >Геометрической кратности-диффектная матрица
Алгебраическа кратность= геометрической кратности, тогда:
m x(t)=Σ e^λit (Bin+Bi1t+...BisT^s)ai i=1
m-количество разных собственых значений s-1=кратность i-того собственного знчения (геометтрич)
|