Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Vych_mat / Vych_mat / 20-24.docx
Скачиваний:
32
Добавлен:
24.03.2015
Размер:
212.77 Кб
Скачать

Билет № 20.

1). Оценка скорости сходимости метода простых итераций для систем линейных алгебраических уравнений в "явной" форме, оценка точности приближения к решению.

2). Представление таблично заданной функции сплайнами.

Оценка скорости сходимости метода простых итераций для системы линейных алгебраических уравнений в "явной" форме. Оценка точности приближения.

Эта запись справедлива для любого p

При р→∞ получим оценку:

Таким образом:

и Скорость сходимости пропорциональна геометрической прогрессии

С другой стороны , поэтому скорость сходимости линейная (геометрическая прогрессия)

Оценка погрешности нахождения решений

1/ε

Мажоритарная оценка редко используется на практике, так как дает завышенные результаты

Опосториорная оценка:

Условия:

- оценка для zk-1

-

Опосториорная оценка

Представление таблично заданной функций сплайнами.

g1, g2, … gn - функции Сплайн

gi = ki1 + ki2 x + ki3 x2 + ki4 x3 – кубический сглаживающий сплайн

неизвестные: ki1 … ki4

Получаем (4n-2) уравнения – недостающее уравнение – уравнение производных для точки х0, равное нулю

,

Билет № 21.

1). Теорема о возможности перехода от СЛАУ в "неявной" форме к СЛАУ в "явной" форме. Матрицы с диагональным преобладанием.

2). Решение системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка численно-аналитическим методом.

Теорема о возможности перехода от СЛАУ в «неявной» форме к СЛАУ в «явной». Матрица с диагональным преобладанием.

Теорема о возможности перехода от системы (1)Ax=y =>x=αx+β (2); ||α||<1

Для любой системы вида(1) с невырожденной матрицей возможен переход к системе (2), такой, что норма матрицы 2<1

D=A^-1 +B – невырождена по непрерывности

Dax=Dy

DetD не равен 0

(A^-1 +B)Ax=Dx

A^-1 Ax= BAx=Dy

X=-BAx+ Dy

||α||<или = ||B|| ||A||

1>||α||<или =||B|| ||A||

Теоретически такой переход всегда сущесвует. Но на практике такой переход требует:

Если А- матрица с диагональным преобладанием то переход производится тривиальным образом

|3 2 1 | Q=E-2*S*S^-T

A=|4 2 2 |

|-1 6 -1 |

A=[A1,A2,A3]

QA=Q[A1,A2,A3]

1

Q: x-> 0 *α, α=||x||

0

S- растояние от исходной матрицы до получаемой

S=(x-αy)* 1\λ

( | 3 | |1| )

S= ( | 4 | - |0| * ||x|| ) * 1\λ

( | 1 | |0| )

Теорема

Система с диагональным преобладанием всегда разрешима и притом единственным образом.

Решение системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений 1-ого порядка численно-аналитическим методом.

Запись Коши:

x(t)+Ax(t)=y(t)

x(0)=x0

A1x(t)+A0x(t)=y(t)

x(0)=x0

От дифференцируемого уровненияn-ого порядка можно перейти к системе nдифференцированому уравнению 1ого порядка. Решение такого уравнения ищется как сумма общих решений однородных систем.

1)A1x(t)+A0x(t)=0

x=a1e^λ1t * B1+...+ane^ λnt *Bn

det[A1 λ1+A0]=0,i=1,m

[A1 λi+A0]Bi=0, i=i,n

B,n- произв. числа

A1*d\dt *(a1e^λ1t B1+...+ ane^λntBn)+A0(a1e^λ1t B1+...+ane^λntBn)= a1e^λ1t [A1 λ1+A0]B1 +...+an^λnt (A1λ1+A0)B0=0

Если нет кратных собственных значений в матрице

Алгебраическая кратность >Геометрической кратности-диффектная матрица

Алгебраическа кратность= геометрической кратности, тогда:

m

x(t)=Σ e^λit (Bin+Bi1t+...BisT^s)ai

i=1

m-количество разных собственых значений

s-1=кратность i-того собственного знчения (геометтрич)

Соседние файлы в папке Vych_mat