Билет № 5.
1). Классификация методов вычисления собственных значений матрицы.
2). Схема Жордана решения систем линейных алгебраических уравнений.
Собственные значения матрицы (i, k = 1, 2,..., n) называют Собственные значения соответствующего ей линейного преобразования п-мерного комплексного пространства. Их можно определить также как корни определителя матрицы А — λЕ (где Е — единичная матрица), т. е. корни уравнения , (*) называемого характеристическим уравнением матрицы. Эти числа совпадают для подобных матриц А и В–1 AB (где В — неособенная матрица) и характеризуют поэтому свойства линейного преобразования, не зависящие от выбора системы координат. Каждому корню λi; уравнения (*) отвечает вектор xi ¹ 0 (собственный вектор) такой, что Axi = λixi. Если все Собственные значения различны, то множество собственных векторов можно выбрать за базис векторного пространства. В этом базисе линейное преобразование описывается диагональной матрицей Каждую матрицу А с различными Собственные значения можно представить в виде С–1LС. Если А — самосопряжённая матрица, то еёСобственные значения действительны, собственные векторы ортогональны, а матрицу С можно выбрать унитарной. Модуль каждого Собственные значения унитарной матрицы равен 1. Сумма Собственные значения матрицы равна сумме её диагональных элементов, т. е. следу её матрицы. Знание Собственные значения матрицы играет важную роль в исследовании сходимости некоторых приближённых методов решения систем линейных уравнений. |
Схема Жордана.решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод нахождения решения системы (Ax=y) методом Жордана заключается в преобразовании матрицы к единичному виду (на диагонали единицы, остальные- нули)
………… … = … ……… … = … an1……annxnyn00….01xny2*
* означает, что значения изменились относительно первоначальных значений значит x1=y1*….xn=yn* и эта схема не обладает обратным ходом.
Отводимая память P=n2 ТрудоемкостьТ=1/2 n2
Сам по себе метод – основа симплекс-метода для решения задач линейного программирования. Применение метода: метод используется, если много правых частей и значение их заранее известны и не требуется обратный ход |
Билет № 6.
1). Решение систем линейных алгебраических уравнений методом оптимального исключения.
2). Сведение обобщенной проблемы собственных значений к стандартной.
1). Метод оптимального исключения решения систем линейных алгебраических уравнений.
ОП а11. . . . . . . а1n1 0 а13. . . . . . а1n1 0 0 а14. . . . .а1n => 0 1 а23. . . . . . . а2n=> 0 1 0 а24. . . . .а2n а21. . . . . . . а2na31. . . . . . . . . . . . .a3n0 0 1а34. . . . .а3n
Заключается в последовательном отсекании той части матрицы, которая уже приведена к единичному виду с целью снижения затрат памяти. А работа идет уже с оставшейся, не приведенной частью. Используется тогда, когда система уравнений велика и не помещается в оперативную память. Смысл в том, что на каждом шаге мы приводим матрицу к нулям и единицам, сокращаем длину строки и одновременно считываем строку, увеличивая количество столбцов.
трудоемкость(затраты памяти) : 2 строки_____ 2n-22 3 строки_____ 3n-32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . mcтрок_____mn-m2 =φ(m)dφ/dm=n-2m=0; m=n/2; d2φ/dm2= -2 <0 => это точкаmax m=n/2; φ(m)= m(n-m) = n/2(n-n/2)= n2/4 Для того, чтобы схема стала универсальной нужно производить выбор ведущего элемента по строке.
|
Сведение обобщенной проблемы собственных значений к стандартной A+λ+A0- матрица приведем такую проблему к стандартной
а) detA0≠0 (матрица не вырождена) тогда матрица называется регулярной и существует A0-1 A0-1A1 λ + A0-1A1 = A0-1A1 λ + E=A -µE; A= A0-1A1; µ= - λ-1;
det(A1 λ+ A0) пусть A0невырождена, detA0≠0 A1 вырождена, detA1=0 то существует λ=∞
б) detA1≠0 тогдасуществует A1-1и A1-1A1 λ + A1-1A0= A-µE; A= A1-1A0; µ= - λ;
detA0=0, det(A1 λ + A0) = detA0=0 =>существует λ=0
в) detA1=0 обе матрицы вырождены detA0=0 A1λ + A0 – нерегулярная матрица det(A1 λ + A0) ≠0
λ=α+µ , α R1, µ- число A1(α+µ ) + A0 =A1α + A0+ A1µ = /существует (A1α + A0)-1/ A
E + µ(A1α + A0)-1 A1 = A – ξE; ξ = -µ-1
A2λ2 + A1λ+ A0 =>A- λE методы преобразования надо использовать, если матрица А является плотной и не имеет никаких особенностей.
|