Билет № 1.

1). Источники и классификация погрешностей численного решения математических задач. Неустранимая погрешность, погрешность метода, вычислительная погрешность.

2). Формулировка задачи решения систем линейных алгебраических уравнений, источники ее появления,

1. Источники и классификация погрешностей численного решения математических задач. Неустранимая погрешность, погрешность метода, вычислительная погрешность.

Причины возникновения:

1. Математическое описание задачи может быть не точным

2. Метод, который используется для решения задачи, может быть не точным

3. При вводе и выводе исходных данных, а также при выполнении алгебраических вычислений и округление числа

Существуют типы погрешностей:

1. Неустранимая погрешность

Неустранимая погрешность разделяется на две части:

а) неустранимой погрешностью называют лишь погрешность, являющуюся следствием неточности задания числовых данных, входящих в математическое описание задачи

б) погрешность, являющуюся следствием несоотвествия математического описания задачи реальности, называют, соотвественно погрешностью математической модели

2. Погрешность метода

3. Вычислительная погрешность

Общая погрешность – суммарная погрешность

Нат. < цел <Рац( бесконеч. периодич. Дробь) <Иррац (бесконеч. непериодич. Дробь

Рац и Иррац – вещественные (действии)

Комплексные числа – пара вещественных

2. Вычислительные методы линейной алгебры. Методы решения СЛАУ.

1. формулировка задачи

A(mxn) – матрица

Однородная система – если вектор свободных членов равен нулевому вектору (если правая часть нулевая)

=

1. m<n

неопределенная.

Бесчисленноемн-во решений

2. m=n

   =

2 решения

=

3. m>n

переопределенная.несовместная

Смысл решения системы – переход от одного базиса к другому.

Методы решения делят на три группы

1)прямые методы

2)Итерационные методы

3)методы типа Монте-Карло (сотни алгоритмов. Зависит от особенностей С.У.)

Билет № 2.

1). Формы представления чисел в компьютере. Абсолютная и относительная погрешности, оценки погрешностей.

2). Метод Гаусса (схема единственного деления) решения систем линейных алгебраических уравнений. Трудоемкость и рабочее поле метода.

Комплексные числа представляют в виде пары вещественных чисел.

Формы представления чисел в компьютере.

В компьютере числа представляются

• c фиксированной точкой

• c плавающей точкой

Представление чисел с фиксированной точкой: все числа в ЭВМ имеют модуль, меньший 1; число знаков после запятой фиксировано. Один байт отводится на знак числа, фиксированное число байтов отводится на целую часть и фиксированное число – на дробную часть.

a = ± a_{n ,} a_n-1 … a₀ а_-1 а_-2 … а_-m

где a_i – разряды, (a_na_n-1 … a₀) – целые, (а_-1 а_-2 … а_-m) – дроби

Дело в том, что в позиционной системе счисления смысл каждого разряда зависит от его позиции в этой записи.

а = ± a_n рⁿ + … + a₁ p + a₀ p⁰ + a_-1 p^-1 + … + a_mp^m,

где р – целое, основание системы счисления, a_i –целые натуральные числа, такие что(0 ≤ a_i<p)

При использовании чисел с фиксированной точкой может возникнуть переполнение. В таком случае можно увеличить разрядность, но вырастут время обработки и занимаемая память.

Представление чисел с плавающей точкой: числа представляются в виде мантиссы и порядка

а = М р^s,

где М – мантисса (множитель, содержащий все цифры числа), p – основание системы счисления, s – порядок числа (целое число). Причем (р^-1 ≤│M│<1), то есть мантисса должна быть правильной дробью, у которой первая цифра после запятой отлична от нуля.

Выводы:

1. Диапазон представления чисел с плавающей точкой гораздо больше, чем с фиксированной, поэтому их используют чаще

2. Числа с фиксированной точкой обрабатываются быстрее, чем с плавающей

Абсолютная и относительная погрешности

Если a - точное значение некоторой величины, а а^*- известное приближение к нему (значение с погрешностью), то

Δа =│а– а^*│ - абсолютная погрешность,

а = а^* + Δа

δ(а) = Δа / (│а│) = (│а – а^*│) / │а│ - относительная погрешность,

а = а^* · (1 ± δ(а))

Оценки погрешностей

1. «Оценка снизу» получается отбрасыванием младших разрядов (усечением числа)

2. «Оценка сверху» или округление – более точный способ

│а₁ - а│≥│а₂ - а│=>a= а₂

│а₁ - а│<│а₂ - а│=>a= а₁

Δа ≤ ½ (а₂ - а₁) = ½ ·10^-t

δ(а) = ½ 10^1-t

где t – количество использованных разрядов

2) Метод Гаусса (схема единственного деления) решения систем линейных алгебраических уравнений. Трудоемкость и рабочее поле метода.

На iом шагевыбираем элемент a_ii .Принимаем j = i.Обзовем его ведущим. Делим строку (вместе с iым элементом столбца свободных членов)с номером i на этот элемент. Умножаем строку (вместе с iым элементом столбца свободных членов)с номером i на a_i+ji.И вычитаем из i ой(преобразованной умножением) строки,строку с номером i+j.Строку с номером i+j заменяем на получившуюся строку,строка с номером i остается неизменной.J увеличиваем на 1.и так продолжаем до тех пор пока j≠n.Как только j=n ,делаем последнее преобразование, выходим из цикла и увеличиваем i на 1 .и так до тех пор пока i≠n

Трудоемкость и рабочее поле метода

Рабочее поле: ячеек памяти

Трудоемкость метода

Прямой ход [ВМО]

Обратный ход

Достоинства : простота, низкая трудоемкость вычислений

Недостатки не универсальность(очередной ведущий элемент может оказаться 0),относительно невысокая точность вычисления, не запоминается информация о преобразовании правой части системы