§13. Метод Ньютона. Решение уравнений с одной переменной.
Пусть требуется решить уравнение (1), где функция – дважды непрерывно-дифференцируема на ; на и и .
Из этих условий вытекает, что на функция имеет только один корень.
Прежде, чем использовать итерации, необходимо (1) привести к виду .
.
Функция непрерывная в окрестности корня уравнения (1). Следовательно, уравнение (1) и уравнение (2) будут иметь один и тот же корень .
В качестве выберем , тогда (3)
Выберем начальное приближение достаточно близкое к . Остальные приближения получаются по формуле:
(4)
Метод, определенный (4), называется методом Ньютона.
Докажем, что метод Ньютона сходится и получим его оценку погрешности.
Если дано, что , где – символ Ландау: |
|
|
|
|
Докажем, что (4) сходится.
Для этого покажем, что отображение – сжатие, где .
.
При получим
.
По непрерывности функции на существует такая окрестность точки , что для , , а этом сжатие.
Поэтому к отображению можно применить принцип сжатыхотображений.
Если выбрать , то будет сходиться к точному решению уравнения (1)., т.е. .
Заметим, что метод (4) будет сходиться, если начальное приближение будем выбирать из окрестности
, .
Докажем, что метод Ньютона сходится.
Определим скорость сходимости метода Ньютона. Для этого разложим в ряд Тейлора в точке .
.
При имеем . Поэтому
Выразим (5)
Обозначим через ,
(6)
, скорость сходимости метода Ньютона квадратичная, .
Потребуем, чтобы начальное условие выбиралось из условия
(7)
Тогда из (6) получим
- оценка погрешности.
Метод Ньютона имеет квадратичную скорость сходимости. Это означает, что при переходе от одной итерации к другой количество верных знаков удваивается в последующем приближении.
Достоинство: высокая скорость сходимости, легко программируется на ЭВМ.
Недостатки: узкая область сходимости.
Если будем решать операторное уравнение , то на каждом шаге необходимо находить значение обратного оператора .
Геометрический смысл метода Ньютона.
П усть требуется решить уравнение и единственный корень этого уравнения находится на .
В точке проведем касательную к графику функции , уравнение касательной: .
Если , то
– первое приближение к уравнения (1) по методу Ньютона.
Возьмем и проведем касательную в этой точке. Получим .
Если , то
– второе приближение к уравнения (1) по методу Ньютона.
И так далее. Отсюда метод Ньютона называют методом касательных.