Vych_mat / Vych_mat / Лекции / 10

§10. Вспомогательные сведения из функционального анализа.

Определение. Множество Х произвольных элементов называется метрическим пространством, если ставится в соответствие число , удовлетворяющее следующим условиям:

1. ;

2. ;

3. 

– расстояние между x и y.

1-3 – аксиомы метрики.

Говорят, что множество элементов - метрическое пространство сходится к , если

, .

Последовательность точек называется сходящейся в себе (фундаментальной), если .

Всякая сходящаяся последовательность является фундаментальной, обратное верно не всегда.

Определение. Метрическое пространство, в котором всякая фундаментальная последовательность сходится называется полным.

Пример. .

Зададим различными способами расстояния:

1. кубическая метрика, m-метрика

;

2. сферическая метрика, метрика

;

3. октаэдрическая, s-метрика

.

Для всех выполняются аксиомы метрики и в каждой – полное метрическое пространство.

Пусть X,Y – метрические пространства.

называется оператором, заданным в X со значением в Y.

Если X=Y, то – оператор, отображающий Х в себя (преобразование).

Если , то – неподвижная точка при отображении .

Определение. Говорят, что отображение называется сжимающим (сжатием), если .