§14. Метод хорд. Метод секущих.
По прежнему решаем уравнение (1), где , на и .
Т.е. на (1) имеет только один корень.
Уравнение (1) запишем в виде , где . Возьмем в качестве , где удовлетворяет условию , .
Тогда итерационный метод запишется следующим образом:
– метод хорд.
Докажем, что метод хорд сходится. Для этого необходимо показать, что .
Разложим в ряд Тейлора
.
Рассмотрим при .
.
Обозначим через
Т.е. .
.
Следовательно, – сжатие и по принципу Банаха метод хорд сходится.
Получим оценку погрешности для метода хорд
Так как на , то
.
Обозначим через - оценка погрешности для метода хорд.
Сходимость методы хорд – линейная.
Достоинство метода хорд – легкость программирования на ЭВМ.
– общий вид метода хорд.
Общий вид упростится:
-
При условии , то , ;
-
При условии , то , .
Метод секущих.
Метод секущих имеет вид:
.
Скорость сходимости – сверхлинейная.
.
Метод секущих сходится быстрее метода хорд и метода простой итерации.