Vych_mat / Vych_mat / шпоры / 16-Билет(1,2)

Билет 16

1. Числовые примеры, геометрическая иллюстрация системы линейных алгебраических уравнений с плохо обусловленной матрицей. Способы уменьшения числа обусловленности.

Пусть в системе правый вектор задан плохо обусловленный правым вектором

x1+0.9x2=1.99 | 1.989903

0.99x1+0.98=1.97 | 1.970106

а) x1=x2=1

б) x1=3 x2=1.0203

Во 2ом случае ошибка составила менее 200%, т.е. это вообще не решение, а число обусловленность равно 39600

Если в матрице присутствуют очень большие и очень маленькие значения (большой разброс в значениях), то матрица плохо обусловлена.

a₁₁x+a₁₂y=z1

a₂₁x+a₂₂y=z₂

y=z1 - x a11

a12 a12

y=z2 - x a21

a22 a22

Если линии пересекаются, то система

совместна.

Мы имеем тот случай, когда погрешность в условии перешла в погрешность решения.

Норма матрицы может быть представлена как отношение максимального и минимального собственного значений матрицы. cond(A) =max/min

Для уменьшения числа обусловленности используют алгоритмы масштабирования, в основе которого лежит переход к другой матрице с меньшим числом обусловленности.

Уинкинсон предложил алгоритм маштабирования:

Ax=Y;

D₁Ax = D₁Y; x= D₂ z;

D₁ = - выбирается так, чтобы не было большого разброса коэффициентов

(коэффициенты это 2 или 10 в различной степени)

D₁ A D ₂ z = D₁Y;

новая матрица,у которой число обусловленностей должно быть меньше

2. Построение интерполяционного многочлена Лагранжа.

Основная задача построения многочлена Лагранжа- снизить трудоемкость построения многочлена:

Pn(x)=an xⁿ+…..+a1x+a0

Пусть даны узлы интерполяции:

(x0,y0)……(xn,yn) и Pn(xi)=yi, i=0,n (функция задающая значения)

Лагранж предложил использование другой формы построения многочлена.

Пусть задана (n+1) точка узлов интерполяции и пусть многочлен представлне в виде:

Pn(x)=y₀b₀(x)+…..+y_nb_n(x),

где yo…..yn- таблично заданные узлы интерполяции

b0…..bn- многочлены степени n

y₀b₀(x0)+…..+y_nb_n(x0)=y0

y₀b₀(x1)+…..+y_nb_n(x1)=y1

………………………..

y₀b₀(xn)+…..+y_nb_n(xn)=yn

где bj= 1, i=j

0, ij

bj(x)=Cj(x-x0)(x-x1)…….(x-xn)

Cj(xj-x0)(xj-x1)………..(xj-xn)=1

Cj= 1 .

(xj-x0)(xj-x1)………..(xj-xn)

Pn(x)=yi (x-x0)(x-x1)………..(x-xn) для i=0,n

(xi-x0)(xi-x1)………..(xi-xn)

Тогда интерполяционный многочлен Лагранжа будет иметь вид:

Lj(x)=(x-x0)(x-x1)……(x-xn)

P(n)= )=yi Lj(x) для i=0,n

Lj(xi)

Многочлен Лагранжа используется в тех случаях, когда имеется небольшое количество точек, т.к. сам многочлен строится мгновенно, а вычисление самих точек достаточно трудоемко.