Билет 21
1)Теорема о возможности перехода от СЛАУ в «неявной» форме к СЛАУ в «явной». Матрица с диагональным преобладанием.
Теорема о возможности перехода от системы (1)Ax=y => x=αx+β (2); ||α||<1
Для любой системы вида(1) с невырожденной матрицей возможен переход к системе (2), такой, что норма матрицы 2<1
D=A^-1 +B – невырождена по непрерывности
Dax=Dy
Det D не равен 0
(A^-1 +B)Ax=Dx
A^-1 Ax= BAx=Dy
X=-BAx+ Dy
||α||<или = ||B|| ||A||
1>||α||<или =||B|| ||A||
Теоретически такой переход всегда сущесвует. Но на практике такой переход требует:
Если А- матрица с диагональным преобладанием то переход производится тривиальным образом
|3 2 1 | Q=E-2*S*S^-T
A=|4 2 2 |
|-1 6 -1 |
A=[A1,A2,A3]
QA=Q[A1,A2,A3]
1
Q: x-> 0 *α, α=||x||
0
S- растояние от исходной матрицы до получаемой
S=(x-αy)* 1\λ
( | 3 | |1| )
S= ( | 4 | - |0| * ||x|| ) * 1\λ
( |1 | |0| )
Теорема
Система с диагональным преобладанием всегда разрешима и притом единственным образом.
2)Решение системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений 1-ого порядка численно-аналитическим методом.
Запись Коши:
x(t)+Ax(t)=y(t)
x(0)=x0
A1x(t)+A0x(t)=y(t)
x(0)=x0
От дифференцируемого уровнения n-ого порядка можно перейти к системе n дифференцированому уравнению 1ого порядка. Решение такого уравнения ищется как сумма общих решений однородных систем.
1)A1x(t)+A0x(t)=0
x=a1e^λ1t * B1+...+ane^ λnt *Bn
det[A1 λ1+A0]=0,i=1,m
[A1 λi+A0]Bi=0, i=i,n
B,n- произв. числа
A1*d\dt *(a1e^λ1t B1+...+ ane^λnt Bn)+A0(a1e^λ1t B1+...+ane^λnt Bn)= a1e^λ1t [A1 λ1+A0]B1 +...+an^λnt (A1λ1+A0)B0=0
Если нет кратных собственных значений в матрице
Алгебраическая кратность > Геометрической кратности-диффектная матрица
Алгебраическа кратность= геометрической кратности, тогда:
m
x(t)=Σ e^λit (Bin+Bi1t+...BisT^s)ai
i=1
m-количество разных собственых значений
s-1=кратность i-того собственного знчения (геометтрич)