Vych_mat / Vych_mat / шпоры / 3-Билет(1,2)!

Билет 3

1. Погрешности арифметических операций с числами, их оценки.

Сложение:

a=x1+x2

x1=x1*+1, 1

x2=x2*+2, 2

даны 2 числа х1и х2 с точными значением х1* и х2* и погрешностями 1, 2

и их сумма a.

тогда a= (x1*+1)+ (x2*+2)=(x1*+x2*)+(1+2)=a*+

значит абсолютная погрешность суммы не превосходит суммы абсолютной погрешности слагаемых.

||12

Вычитание:

Вычитанию соответствует аналогичный случай что и сложению, но неизвестно возрастет она или уменьшится

Умножение:

a=(x1*+1)(x2*+2)=x1*x2*+x1*2+x2*1+12=a*+ x1*2 +x2*1+12

Видно, что погрешность может увеличиваться, а моожет и уменьшиьтся.

|x1*|2+|x2*|+12, где 12 очень мало, а значит |x1*|2+|x2*|1

Деление:

a=x1/x2

=-a*+a=a-a*=x1 – x1* =x1*+1 – x1* = (x1*+1)x2* - (x2*+2)x1* =

x2 x2* x2*+2 x2* (x2+2)x2*

= x1*x2* +1x2* - x1*x2*-2x1* = 1x1* - 2x1*  x2*1+x1*2

(x2*+)x2* (x2*+)x2* (x2*)²

(x2*)² - влияет на величину погрешности. Погрешность тем меньше, чем больше знаменатель.

Значит при делении величина погрешности уменьшается при увеличении знаменателя.

2. Вычисление обратной матрицы (от числовой) и определителя матрицы.

Квадратная матрица A называется обратимой, если существует такая матрица X, что AX=XA=E (E - единичная матрица).

Матрица X называется обратной к матрице A и обозначается A -1, т.е. A A -1 =A -1A=E.

Нахождение обратной матрицы заключается в записи матрицы A и через черту единичную, соответствующую ей. Затем, приводим матрицу А к единичному виду, а справа через черту получаем требуемую обратную.

Пусть A квадратная матрица порядка n, n>1. Определителем квадратной матрицы A порядка n называется число

det A= =

где M1 <j> - определитель квадратной матрицы порядка n -1, полученной из матрицы A вычеркиванием первой строки и j -го столбца, называемый минором элемента a1j .

Формула

det A =

называется формулой вычисления определителя разложением по первой строке.

Число (-1) ^j+1 M1^<j> называется алгебраическим дополнением элемента a1j.

Пусть Mi^<j> - определитель квадратной матрицы порядка n-1, полученной из матрицы A вычеркиванием i-й строки и j-го столбца (минор элемента aij ).

Число (-1)^j+i Mi ^<j> называется алгебраическим дополнением элемента aij матрицы A.

Справедливы формулы вычисления определителя квадратной матрицы A разложением по i-й строке и разложением по j-му столбцу:

det A= =

=

для i=1,2,...,n, j=1,2,...,n.

Определитель треугольной матрицы ( все эл-ты над или под главной диагональю равны 0) равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали

Определитель ортогональной матрицы равен 1.

И одним из способов нахождения определителя является приведение матрицы к треугольной , тогда надо учитывать, что при перестановке строк определитель меняет знак, а при домножении матрицы на число определитель помножается на это число.