БИЛЕТ 25
1). Решение линейных обыкновенных дифференциальных уравнений численно-аналитическим методом.
- начальное условие задачи
В качестве решения – функция (график) – дифференциальная кривая
-
дифференциальное уравнение n-ного порядка
В основном возникают задачи решения 1-ого порядка
Систем уравнений могут быть линейными и нелинейными. Линейные системы – это частный случай.
Метод решения:
Запись Коши:
Решение ищется в виде суммы общего решения однородной системы + частного решения неоднородной системы
Общее решение однородной системы в явной форме:
; ;
;
Система устойчива, если все ее члены отрицательны
-
- любая таблично заданная функция
;
При t=1 и x0=k можно найти k
В неявной форме:
Теперь получаем снова произведение и решаем дальше
Дифференциальное уравнение второго порядка:
Частное решение находится точно также
2.Методы решения нелинейного уравнения (деление отрезка пополам, метод хорд, интерполяционный методы)
метод хорд
Пусть f(a)f(b)<0. Сущность метода состоит в замене кривой y=f(x) хордами, проходящими через концы отрезков, в которых f(x) имеет противоположные знаки. Метод хорд требует, чтобы один конец отрезка, на котором ищется корень, был неподвижен. В качестве неподвижного конца х0 выбирают тот конец отрезка, для которого знак f(x) совпадает со знаком второй производной .
Расчетная формула имеет вид
Функция должна быть дважды дифференцируема и производные должны сохранить свой знак на (а,b) .Функция должна быть гладкой.
[a,b] U*a+ =f(a)
[x1,b] U*b+ =f(b)
[x2,b]
[x3,b]
x1=a-f(a) (a-b)/( f(a)-f(b))
x1 b
x2
а x3 метод прекращается когда |f(xi)|<eps
точность работы метода во многом зависит от точности вычисляемых значений функции
этот метод сходится быстрее, чем метод деления интервала пополам
достоинства:
-
простота
недостатки:
-
функция должна быть гладкой
-
условия на дифференцирование