билет 6
2). Сведение обобщенной проблемы собственных значений к стандартной
A1 λ+A0- матрица
приведем такую проблему к стандартной
а) detA0≠0 (матрица не вырождена) тогда матрица называется регулярной и существует A0-1
A0-1A1 λ + A0-1A0 = A0-1A1 λ + E=A -µE;
A= A0-1A1; µ= - λ-1;
det(A1 λ+ A0) пусть A0 не вырождена, detA0≠0
A1 вырождена, detA1=0
то существует λ=∞
б) detA1≠0 тогда существует A1-1 и A1-1A1 λ + A1-1A0= A-µE;
A= A1-1A0; µ= - λ-1;
detA0=0, det(A1 λ + A0) = detA0=0 => существует λ=0
в) detA1=0 обе матрицы вырождены
detA0=0 A1 λ + A0 – нерегулярная матрица
det(A1 λ + A0) ≠0
λ=α+µ , α R1, µ- число
A1(α+µ ) + A0 = A1α + A0 + A1µ = /существует (A1α + A0)-1/
A
E + µ(A1α + A0)-1 A1 = A – ξ E; ξ = -µ-1
A2 λ2 + A1 λ + A0 => A- λ E
методы преобразования надо использовать, если матрица А является плотной и не имеет никаких особенностей.
1). Метод оптимального исключения решения систем линейных алгебраических уравнений.
ОП
а11 . . . . . . . а1n 1 0 а13 . . . . . . а1n 1 0 0 а14 . . . . .а1n
=> 0 1 а23 . . . . . . . а2n => 0 1 0 а24 . . . . .а2n
а21 . . . . . . . а2n a31 . . . . . . . . . . . . .a3n 0 0 1 а34 . . . . .а3n
Заключается в последовательном отсекании той части матрицы, которая уже приведена к единичному виду с целью снижения затрат памяти. А работа идет уже с оставшейся, не приведенной частью.
Используется тогда, когда система уравнений велика и не помещается в оперативную память.
Смысл в том, что на каждом шаге мы приводим матрицу к нулям и единицам, сокращаем длину строки и одновременно считываем строку, увеличивая количество столбцов.
трудоемкость(затраты памяти) :
2 строки_____ 2n-22
3 строки_____ 3n-32
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
m cтрок_____ mn-m2 = φ(m) dφ/dm= n-2m=0;
m=n/2;
d2φ/dm2 = -2 <0 => это точка max
m=n/2; φ(m)= m(n-m) = n/2(n-n/2)= n2/4
Для того, чтобы схема стала универсальной нужно производить выбор ведущего элемента по строке.