Vych_mat / Vych_mat / шпоры / 11-Билет(1,2)

Билет 11

1)LU-,LQ-,QR- разложения и их использования для решения систем линейных алгебарических уравнений, вычисления определителя матрицы.

Lu- разложение (на основе метода Гауса)

Ax=Y;

LUx=Y;

Любая квадратная матрица А, у которой главные миноры не равны нулю, с помощью невырожденного преобразования S может быть преобразована в матрицу u,при этом матрица S(преобразования)- нижняя треугольная.

SA=u

S=

U=

Существует нижняя треугольная матрица L,такая что SL=LS=E;обратная к матрице S(L=S^-1), причём L- нижняя треугольная.

| a11 0 .. . . 0 |

L= | a21 a22 0 0 |

|... ... akk^k-1. . 0 |

|an1 an2¹ .. ann^n-1|

-шаг метода Гауса, такое разложение единственое для

Обратная от нижней треугольной матрицы- нижняя треугольная

S [x1....xn]=

x1=1

0

0

xn=0

0

1

Достоинства:

Простота, быстрота, часто применяется

Недостатки:

Такое разложения не существует всегда

QR разложение

Q- ортогональная матрица

R- верхняя треугольная матрица

QQ^T= Q^T Q=E

Q^T QRX=Q^T y

R

O

x=y D=n^2 + ½ n^2

P=3/2 n^2

i i

| |

| |

x=

.

y= .

0

i

det A= det(QR)=det Q det R= r11 .. .. .. ..rnn

Независимо от того вырождена матрица или нет есть решения всегда.

На практике часто прибегают решению вырожденой матрицы, для:

Оценка точности, вычисления собственных значений.

Всевозможные аналитическое преобразование.

Определение рагна матрицы.

LQ- разложение

А

0

L

= Q

Это разложение можно получиться с помощью:

-разложения

- вращения

A

Q1 Q2 Qn-1=

Существуют нормальнованные разложения

Решения систем уравнений:

Ax=y 1)Lz=y

LQx=y 2)x=Q^T z

Предпочтительно, если нужно вычислять не все строки, а какой то процент строк.

LQ- вектор строка

Нормализованные разложения каждый раз выбирается строка с максимальной нормой

2)Уточнение собственных значений методом Ньютона.

Lim=0 Det A(λi)=0

1. Подставка в матрицу собственных значений и разложение матрицы.

Трацепевидная матрица- собственное значение

Треугольная матрица- не решается

2. hz=d\dx A(λi) qn - последняя строка ортогональной матрицы (собственый вектор)

[d\dx A(λi)=A1, если задача A1λ+A0]

3. Ньютоновская поправка

λi+1=λi- 1/Z(n) - оценка точности,

-уточнение собственных

значений (если необходимо)

-собственный вектор

A(λi)=LQ^T