Vych_mat / Vych_mat / шпоры / 17-Билет(1,2)

БИЛЕТ 17

1.Общаяхарактеристика итерационных методов решения систем линейных алгебраических уравнений, условия и скорость из сходимости. Классификация методов.

Итерационные методы широко применяются для решения разностных уравнений мате­матической физики, операторам которых соответствуют ленточные матрицы А высокого порядка. Общее описание метода итераций для системы линейных алгебраических уравнений: Au=f (1)

Для ее решения выбирается некоторое начальное приближение y₀єH и последовательно находится приближённые решения (итерации) уравнения (1). Значение итерации y_k+1 выражается через известные предыдущие итерации y_k, y_k-1 , …. . Если при вычислении y_k+1 используется только одна предыдущая итерация y_k , то итерационный метод называется одношаговым (двухслойным) методом, если же y_k+1 выражается через две итерации y_k и

y_k-1 то метод называется двухшаговым (трёхслойным).

Важную роль играет запись итерационных методов в единой (канонической) форме. Любой двухслойный итерационный метод можно записать в следующей канонической форме:

k=0,1,…, для всех y₀єH, где А: Н→Н- оператор исходного уравнения (1), В: Н→Н - линейный оператор ,имеющий обратный В^-1, к - номер итерации , τ₁ ,τ₂,….., τ_к+1 , - итерационный параметры , τ_к+1>0 . Оператор В может, вообще говоря, зависеть от номера к, для простоты изложения мы предполагаем всюду , что В не зависит от к.

Если В=Е – единичный оператор, то метод

k=0,1,…, для всех y₀єH, называют явным: находится по явной формуле =y_k-(Ay_k-f). В общем случае , при В≠Е, метод называют неявным итерационным методом: для определения надо решить уравнение

, k=0,1,……. (4)

Говорят что итерационный метод сходится в H_D, если

, где Обычно задают некоторую погрешность (относительную) ε>0 , с которой надо найти приближенное решение y_k, и прекращают вычисление , как только выполняется условие

Итерационные методы: метод простой итерации, метод Зейделя, метод верхней релаксации, стационарные итерационные методы. Итерационные методы сходятся не для любой системы уравнений , но систему уравнений можно изменить, таким образом чтоб итер. метод сходился при любом начальном приближении.

2.Построение интерполяционного многочлена Ньютона

Задан (n+1) узел интерполяции

P_n(x)=c₀+c₁(x-x₀)+c₂(x-x₀)(x-x₁)+…+c_n(x-x₀) ..(x-x_n-1)

=

Трудоёмкость: ½(n+1)²