Билет 4
1). Полиномиальная матрица, ее степень, характеристическое уравнение, собственные значения, правые и левые собственные векторы.
Полиномиальные матрицы еще называют λ-матрицами.
A(λ)= An λn + A1 λ + A0
Ai – полиномиальная матрица степени n,элементы которой это полиномы степени n; i=1,nНапример, если степень матрицы A будет равно 0 (степень полинома,n=0), то A(λ)= A0
Если n=1,то A(λ)= A1 λ + A0 (обобщенная проблема собственных значений)
Определитель числовой матрицы это скаляр, который будет числовым. Для полиномиальной матрицы первой степени скаляр определителя будет функцией от λ, и задание этой функции будет являться характеристическим многочленом.
a111 λ + a011; . . . a11n λ + a01n
a1n1 λ + a0n1; . . . a1nn λ + a0nn = S1 + S!= bn λn + . . .+ b1λ + b0
получим некий характеристический многочлен: bn λn + . . .+ b1λ + b0
Может ли полиномиальная матрица быть вырожденной зависит от λ. Надо определить при каких λ этот многочлен будет =0 :
b1 (λ- λ1)…( λ- λn) =0 ,где λ.. . . λn – собственные значения матрицы
если det(λi)=0 , то λi – собственные значения
частный случай такой матрицы:
A(λ)= A- λE (стандартная проблема собственных значений)
Определим собственные векторы:
A(λi) Bi =0 –правый собственный вектор i=1,n
STi A(λi) =0 – левый собственный вектор
Получим некий характеристический многочлен:
2. Методы Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений с
выбором ведущих элементов по строке, по столбцу, по матрице
по матрице:
1.Среди всех коэффициентов матрицы выбирают наибольший
по абсолютной величине коэффициент (главный элемент), пусть это аij
2.в системе уравнений проводится перестановка строк и столбцов так, чтобы аij . . .
3.делим коэффициенты строки на ведущий элемент (аij)
4. по схеме единственного деления получаем 1 . . . . . . .
0
Далее из остальных уравнений системы выбирают новый главный элемент. Потом это уравнение с новым главным элементом делят на новый главный элемент и исключает неизвестное или определяемое из остальных уравнений системы.
В результате преобразований приходим к единичной матрице.
Здесь переставляются уравнения, что приводит к изменению порядка исключенных неизвестных, и во многих случаях уменьшают погрешности, связанные с округлениями.
Чтобы снизить трудоемкость процесса выбирают ведущие элементы по столбцу или по строке. В строке или в столбце выбирается элемент больший по модулю. а11……….а1n
аn1…….аnn