- •Билет № 1.
- •Билет 4
- •2. Методы Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений с выбором ведущих элементов по строке, по столбцу, по матрице
- •Билет 14
- •1). Нормализованные процессы разложения и их использование для определения ранга матрицы. Метод квадратного корня (случай симметричной матрицы) с20.
- •2. Постановка задачи построения интерполяционного многочлена. Кусочно-линейная интерполяция Интерполяционный многочлен
- •Билет 24 Метод Зейделя
- •Метод верхней релаксации
Билет № 1.
1). Источники и классификация погрешностей численного решения математических задач. Неустранимая погрешность, погрешность метода, вычислительная погрешность.
2). Формулировка задачи решения систем линейных алгебраических уравнений, источники ее появления, перечень особенностей задачи, классификация методов ее решения.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Билет № 2.
1). Формы представления чисел в компьютере. Абсолютная и относительная погрешности, оценки погрешностей.
2). Метод Гаусса (схема единственного деления) решения систем линейных алгебраических уравнений. Трудоемкость и рабочее поле метода.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Билет № 3.
1). Погрешности арифметических операций с числами, их оценки.
2). Вычисление обратной матрицы (от числовой) и определителя матрицы.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Билет № 4.
1). Полиномиальная матрица, ее степень, характеристическое уравнение, собственные значения, правые и левые собственные векторы.
2). Методы Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений с выбором ведущих элементов по строке, по столбцу, по матрице с10-11
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Билет № 5.
1). Классификация методов решения спектральной задачи на пучках матриц.
2). Схема Жордана. решения систем линейных алгебраических уравнений.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Билет № 6.
1). Метод оптимального исключения решения систем линейных алгебраических уравнений.
2). Сведение обобщенной проблемы собственных значений к стандартной.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Билет № 7.
1). Метод группового исключения решения систем линейных алгебраических уравнений (для случая блочной трехдиагональной матрицы).
2). Методы вычисления собственных значений, основанные на преобразованиях подобия (метод вращений Якоби).
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Билет № 8.
1). Решение систем линейных алгебраических уравнений с блочно-диагональной матрицей с двойным окаймлением.
2). Методы вычисления собственных значений, основанные на преобразованиях подобия (QR-алгоритм Френсиса-Кублановской).
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Билет № 9.
1). Итерационное уточнение решения системы линейных алгебраических уравнений, оценка невязки.
2). Методы вычисления собственных значений, основанные на идее интерполяции (линейная и квадратичная интерполяция).
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Билет № 10.
1). Недостатки методов исключения. Реализация метода Гаусса с сохранением элементарных операций в матрице преобразований.
2). Оценка точности вычисления собственного значения с использованием нормализованного LQ-разложения постоянной матрицы. Вычисление с его помощью собственных векторов.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Билет № 11.
1). LU- ,LQ-,QR- разложения и их использование для решения систем линейных алгебраических уравнений, вычисления определителя матрицы.
2). Уточнение собственных значений методом Ньютона.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Билет № 12.
1). Ортогональные матрицы вращения (преобразования Гивенса), их использование для реализации QR-разложения.
2). Решение частичной проблемы собственных значений. Степенной метод и его модификации.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Билет № 13.
1). 1). Ортогональные матрицы отражения (преобразования Хаусхольдера), их использование для реализации QR-разложения.
2). Представление чисел с фиксированной и плавающей запятой, оценка абсолютной и относительной погрешностей представления.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Билет № 14.
1). Нормализованные процессы разложения и их использование для определения ранга матрицы. Метод квадратного корня (случай симметричной матрицы) с20.
2). Постановка задачи построения интерполяционного многочлена. Кусочно-линейная интерполяция.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Билет № 15.
1). Оценка погрешности решения СЛАУ. Различные нормы векторов и матриц. Неустранимая погрешность. Число обусловленности матрицы и его влияние на относительную погрешность решения СЛАУ.
2). Построение интерполяционного многочлена путем решения систем линейных алгебраических уравнений.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Билет № 16.
1). Числовые примеры, геометрическая иллюстрация системы линейных алгебраических уравнений с плохо обусловленной матрицей. Способы уменьшения числа обусловленности.
2). Построение интерполяционного многочлена Лагранжа.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Билет № 17.
1). Общая характеристика итерационных методов решения систем линейных алгебраических уравнений, условия и скорость их сходимости. Классификация методов.
2). Построение интерполяционного многочлена Ньютона.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Билет № 18.
1). Система линейных алгебраических уравнений в "явной" форме. Метод простых итераций.
2). Метод интерполяции Ньютона-Грегори, основанный на использовании разделенных разностей.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Билет № 19.
1). Условия сходимости метода простых итераций для системы линейных алгебраических уравнений в "явной" форме.
2). Построение аппроксимирующих многочленов.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Билет № 20.
1). Оценка скорости сходимости метода простых итераций для системы линейных алгебраических уравнений в "явной" форме. Оценка точности приближения.
2). Представление таблично заданной функций сплайнами.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Билет № 21.
1). Теорема о возможности перехода от СЛАУ в "неявной" форме к СЛАУ в "явной". Матрицы с диагональным преобладанием.
2). Решение системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка численно-аналитическим методом.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Билет № 22.
1). Метод Зейделя решения систем линейных алгебраических уравнений.
2). Оценка погрешностей выполнения арифметических операций с множеством чисел.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Билет № 23.
1). Стационарная двухслойная схема. Теорема Самарского об условии ее сходимости.
2). Оценка погрешностей выполнения арифметических операций с парами чисел.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Билет № 24.
1). Метод Зейделя с 32, метод верхней релаксации, методы факторизации, доказательство их сходимости для стационарных двухслойных схем.. с 35
2). Решение дифференциального уравнения явным методом Эйлера.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Билет № 25.
1). Решение линейных обыкновенных дифференциальных уравнений численно-аналитическим методом.
2). Методы решения нелинейного уравнения (деления отрезка пополам, метод хорд, интерполяционные методы).
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Билет № 26.
1). Общая характеристика процессов численного решения систем дифференциальных уравнений, локальная погрешность интегрирования, численная устойчивость процесса интегрирования. Общая формула явных методов.
2). Решение систем линейных алгебраических уравнений с разреженными матрицами, метод диагональной модификации.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Билет № 27.
1). Общая характеристика процессов численного решения систем дифференциальных уравнений, локальная погрешность интегрирования, численная устойчивость процесса интегрирования. Общая формула неявных методов.
2). Метод Ньютона решения нелинейного алгебраического уравнения и системы уравнений, условия и скорость его сходимости.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------