Vych_mat / Vych_mat / Экз / 18-Билет(1,2)

БИЛЕТ 18

1.Система линейных алгебраических уравнений в «явной» форме. Метод простыx итераций.

Уравнение представлено в явной форме, если неизвестные, находящиеся в зависимости расположены в одной из частей уравнения, а в другой располагаются известные величины.

Метод итераций:

F(x)=0 Система имеет решение

Можно задать начальное приближение.

x=Ф(x)

xk+1=Ф(xk) x=x+AF(x);A>0

Δ xk+1= xk+1- xk S(x,y)={x,y;|x*y|<S}

|| Δ xk+1||<Eps

|Ф(x)- Ф(y)|<q||x-y||

S(Xo,V) 0<q<1

Пусть выполняется условие :

||Xo-Ф(Xo)|<S(1-q)|

x=Ф(x)- корень уравнения

Условие теоретически проверить тяжело

1)Накладывания жёстких условия на производную

2)Хорошие начальные произведения

Основные пути: x=Ф(x)

Увеличить скорость сходимойсти (Зейдель)

2.Метод интерполяции Ньютона-Грегори, основанный на использовании разделённых разностей

x_i+1-x_i=h - расстояние между узлами интерполяции

Вычисления используя конечные разности

y₀=c₀

y₁=c₀+c₁h

y2=c0+c1h+c2h

……………….

y_n=c₀+…+c_n(n-1)h* *h

y_i=y_i+1-y_i

Δ(Δy_i)= Δ(yi₊₁-y_i)= Δy_i+1- Δy_i=(y_i+2-y_i+1)-(y_i+1-y_i)=y_i+2-2y_i+1+y_i

Δ^ey_i= Δ(Δ^e+1)y_i

C₀=y₀

C₁=(y₁-c₀)/h=(y₁-y₀)/h= Δy₀/h

C₂=(1/2h²)(y₂-c₀-2hc₁)=(1/2h²)(y₂-y₀-2h((y₁-y₀)/h))= (1/2h²)(y₂-y₁-y₁+y₀)=

=(1/2h²)( Δy₁-Δy₀)= (1/2h²) Δ(Δy₀)= Δ²y₀/2h²

c_j=Δ^jy₀/(j!)h^j

P_n(x)=c₀+c₁(x-x₀)+c₂(x-x₀)(x-x₁)+…+c_n(x-x₀) ..(x-x_n-1)