Билет 16
-
Числовые примеры, геометрическая иллюстрация системы линейных алгебраических уравнений с плохо обусловленной матрицей. Способы уменьшения числа обусловленности.
Пусть в системе правый вектор задан плохо обусловленный правым вектором
x1+0.9x2=1.99 | 1.989903
0.99x1+0.98=1.97 | 1.970106
а) x1=x2=1
б) x1=3 x2=1.0203
Во 2ом случае ошибка составила менее 200%, т.е. это вообще не решение, а число обусловленность равно 39600
Если в матрице присутствуют очень большие и очень маленькие значения (большой разброс в значениях), то матрица плохо обусловлена.
a11x+a12y=z1
a21x+a22y=z2
y=z1 - x a11
a12 a12
y=z2 - x a21
a22 a22
(график с пересечениями прямых)
Если линии пересекаются, то система
совместна.
Мы имеем тот случай, когда погрешность в условии перешла в погрешность решения.
Норма матрицы может быть представлена как отношение максимального и минимального собственного значений матрицы. cond(A) =max/min
Для уменьшения числа обусловленности используют алгоритмы масштабирования, в основе которого лежит переход к другой матрице с меньшим числом обусловленности.
Уинкинсон предложил алгоритм маштабирования:
Ax=Y;
D1Ax = D1Y; x= D2 z;
D1 = - выбирается так, чтобы не было большого разброса коэффициентов
(коэффициенты это 2 или 10 в различной степени)
D1 A D 2 z = D1Y;
новая матрица,у которой число обусловленностей должно быть меньше
2. Построение интерполяционного многочлена Лагранжа.
Основная задача построения многочлена Лагранжа- снизить трудоемкость построения многочлена:
Pn(x)=an xn+…..+a1x+a0
Пусть даны узлы интерполяции:
(x0,y0)……(xn,yn) и Pn(xi)=yi, i=0,n (функция задающая значения)
Лагранж предложил использование другой формы построения многочлена.
Пусть задана (n+1) точка узлов интерполяции и пусть многочлен представлне в виде:
Pn(x)=y0b0(x)+…..+ynbn(x),
где yo…..yn- таблично заданные узлы интерполяции
b0…..bn- многочлены степени n
y0b0(x0)+…..+ynbn(x0)=y0
y0b0(x1)+…..+ynbn(x1)=y1
………………………..
y0b0(xn)+…..+ynbn(xn)=yn
где bj= 1, i=j
0, ij
bj(x)=Cj(x-x0)(x-x1)…….(x-xn)
Cj(xj-x0)(xj-x1)………..(xj-xn)=1
Cj= 1 .
(xj-x0)(xj-x1)………..(xj-xn)
Pn(x)=yi (x-x0)(x-x1)………..(x-xn) для i=0,n
(xi-x0)(xi-x1)………..(xi-xn)
Тогда интерполяционный многочлен Лагранжа будет иметь вид:
Lj(x)=(x-x0)(x-x1)……(x-xn)
P(n)= )=yi Lj(x) для i=0,n
Lj(xi)
Многочлен Лагранжа используется в тех случаях, когда имеется небольшое количество точек, т.к. сам многочлен строится мгновенно, а вычисление самих точек достаточно трудоемко.