Vych_mat / Vych_mat / Экз / 1-Билет (1,2)

Билет 1

1) Источники и классификация погрешностей численного решения математических задач. Неустранимая погрешность, погршеность метода, вычислительная погрешность.

Причины возникновения:

1. Математическое описания задачи может быть не точным

2. Метод который используется для решения задачи, может быть не точным

3. При вводе и выводе исходных данных,а также при выполнение алгебраических вычислений и округление числа

Существуют типы погрешностей:

1. Неустранимая погрешность

Неустранимая погрешность разделяется на две части:

а) неустранимой погрешность называют лишь погрешность, являющуюся следствием неточности задания числовых данных, входящих в математическое описание задачи

б) погрешность, являющуюся следствием несоотвествия математического описания задачи реальности, называют, соотвественно погрешностью математической модели

2. Погрешность метода

3. Вычислительная погрешность

Формальное определение:

Пусть x-точное значение решения, x1-значение вычисляемое с учетом неточности задания математического описания по методу, который не порождает погрешность, x2- с методом,порождающим погрешность, x3- с вычислительной погрешностью

Тогда :

P1= x1-x2

P2=x2-x1

P3= x3-x2

P0= x3-x = P1+P2+P3-полная погрешность

2)Формулировка задачи решения систем линейных алгебарических уравнений, источники её появления, перечень особенностей задачи. Класификация методов её решения.

При решение СЛАУ обращают внимания на:

1. Порядок системы (кол-во уравнений)

2. Особенности матрицы

- треугольная

- блочно-диагональная

- ленточная

- блочно-диагональная с двойным обрамлением

- разряженная

В зависимотси от порядка системы методы условно делятся на 3 группы:

1) Прямые методы

2) Итрационные методы

3) Методы типа Монте-Карла

_

|

| a11x1 + a12x12+..+a1mxm=y1 | φ1|

| ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ....... | ....|

| an1x1+ an2x2+ ... + amnxm=yn | φn|

|_

Ai,j € R^1, i=1,m j=1,n

y € R^1, i=1,m

Необходимо найти такой числовой вектор, при подстановке коэффициентов которого в систему, приведет к появлению n числовых равенств

A1 x1 + A2x2 + ... Anxn=Y

[A1..An]x=y

Ax=y

1)n>m

x y

а А

= - недоопределёная система

_

|X1+2X2+3X3=1

|X1+2X2+3X3=5

|_

X1λ1+ ... +Xnλn=0 – Линейно независимая система

В одномерном пространстве только один линейно-независимый векто.

Если строки матрицы линейно-независимы, то такая матрица будит иметь бесконечное количество решений.

3. n<m

А

= - переопределёная система

x

y -количество уравнений больше количества неизвестных

Решается транспонированием и приближением, т.к. количество решений может быть бесчисленым.

3)n=m

x y

A FА

= -квадратная матрица

det A – определитель, если равен нулю, то вырожденная матрица, если не равно нулю – невырожденная

Если матрица невырождена, то такая система имеет единственное решение при любой правой части.

Если матрица невырождена,

1. либо система уравнений несовместима

2. имеет бесчисленное множество решений

Каждый численный метод характеризуется:

1)точностью

2)трудоёмкостью- количество мультипликативных операций необходимых для решения задачи

3)рабочем полем – память необходимая для решения задачи