Vych_mat / Vych_mat / Экз / 4-Билет(1,2)

Билет 4

1). Полиномиальная матрица, ее степень, характеристическое уравнение, собственные значения, правые и левые собственные векторы.

Полиномиальные матрицы еще называют λ-матрицами.

A(λ)= A_n λⁿ + A₁ λ + A₀

A_i – полиномиальная матрица степени n,элементы которой это полиномы степени n; i=1,n

Например, если степень матрицы A будет равно 0 (степень полинома,n=0), то A(λ)= A₀

Если n=1,то A(λ)= A₁ λ + A₀ (обобщенная проблема собственных значений)

Определитель числовой матрицы это скаляр, который будет числовым. Для полиномиальной матрицы первой степени скаляр определителя будет функцией от λ, и задание этой функции будет являться характеристическим многочленом.

a¹₁₁ λ + a⁰₁₁; . . . a¹_1n λ + a⁰_1n

a¹_n1 λ + a⁰_n1; . . . a¹_nn λ + a⁰_nn = S₁ + S!= b_n λⁿ + . . .+ b₁λ + b₀

получим некий характеристический многочлен: b_n λⁿ + . . .+ b₁λ + b₀

Может ли полиномиальная матрица быть вырожденной зависит от λ. Надо определить при каких λ этот многочлен будет =0 :

b₁ (λ- λ₁)…( λ- λ_n) =0 ,где λ.. . . λ_n – собственные значения матрицы

если det(λ_i)=0 , то λ_i – собственные значения

частный случай такой матрицы:

A(λ)= A- λE (стандартная проблема собственных значений)

Определим собственные векторы:

A(λ_i) B_i =0 –правый собственный вектор i=1,n

S^T_i A(λ_i) =0 – левый собственный вектор

Получим некий характеристический многочлен:

2. Методы Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений с выбором ведущих элементов по строке, по столбцу, по матрице

по матрице:

1.Среди всех коэффициентов матрицы выбирают наибольший по абсолютной величине коэффициент (главный элемент), пусть это а_ij

2.в системе уравнений проводится перестановка строк и столбцов так, чтобы а_{ij . . .}

3.делим коэффициенты строки на ведущий элемент (а_ij)

4. по схеме единственного деления получаем 1 . . . . . . .

0

Далее из остальных уравнений системы выбирают новый главный элемент. Потом это уравнение с новым главным элементом делят на новый главный элемент и исключает неизвестное или определяемое из остальных уравнений системы.

В результате преобразований приходим к единичной матрице.

Здесь переставляются уравнения, что приводит к изменению порядка исключенных неизвестных, и во многих случаях уменьшают погрешности, связанные с округлениями.

Чтобы снизить трудоемкость процесса выбирают ведущие элементы по столбцу или по строке. В строке или в столбце выбирается элемент больший по модулю. а_11……….а_1n

а_n1…….а_nn