Билет 19.
1. Условия сходимости метода простых итераций для системы линейных алгебраических уравнений в "явной" форме.
При решении систем уравнений используя итерации (приближения), при которых находится не само решение системы, а находится некоторая последовательность, которая сходится к решению за конечное число шагов.
x0,x1…..x*
Lim xi=x*
i
Скорость сходимости определяется насколько быстро из начально взятого приближения возможен переход к x*
И важнейшей особенностью этого метода является то, что эти методы сходятся не для любой схемы, но любую схему можно привести к такому виду, чтобы итерационный метод сходился при любом приближении.
Каждый следующий член итерационной последовательности выражается через предыдущие, уже известные.
Рассмотрим условия сходимости для представления матрицы в виде x=x+ xk+n=xk+ для последовательности x0,x1…..x*, где x*=
Zk=-xk
Zk=(+)-(xk-1+)=(+ xk-1)= Zk-1
Zk= Zk-1
|| Zk|||||| ||Zk-1||
|| Zk|||||| ||Zk|||||| |||| ||Zk-2||=||2|| ||Zk||
значит: lim || Zk||=0
k
Процесс будет сходиться в любом случае, если норма матрицы будет меньше единицы (||||<1)
Отсюда теорема о сходимости метода простой итерации:
Для того чтобы метод итерации сходился из любого начального приближения необходимо, чтобы норма матрицы была меньше 1.
Второй теоремой о сходимости метода итервций будет являться:
метод простых итреаций будет сходиться из любого начального приблиджения, если все собственные значения матрицы по модулю будут меньше 1.
Теоретическая сходимость не означает, что метод сходится на практике при решении этой задачи из-за влияния ошибок.
2 вопрос на листочках