Билет 5
1. Классификация методов решения спектральной задачи на пучках матриц.
при задании матрицы в виде: A()=A1+A0
В нахождении собственных значений выделяют 2 проблемы:
-
полная проблема собственных значений- нахождение всех собственных значений
-
частичная проблема собственных значений (вычисление собственных значений по какому-то условию- минимальный или максимальный например)
И все методы полной проблемы собственных значений можно разделить на:
-
определение собственных значений исходя только матрицы собственных значений
-
методы основанные на преобразованиях подобия. Для этих методов заданную матрицу приводят к виду A()=A-E, а далее решение идет например с использованием матриц вращения Якоби или QR-разложения с использованием матриц отражения.
-
методы интерполяции
суть метода заключается в нахождении приближенной функции отражающую зависимость det() от проходящей через узлы интерполяции.
-
методы уточнения - уточнение собственных значений на основе матрицы и приближению к собственным значениям
-
метод Ньютона
-
методы Ланкастера
2. Схема Жордана. решения систем линейных алгебраических уравнений.
Метод нахождения решения системы (Ax=y) методом Жордана заключается в преобразовании матрицы к единичному виду (на диагонали единицы, остальные- нули)
-
Осуществление элементарных преобразований (перестановка строк, умножение матрицы на число- не ноль, прибавление строки к строке) над данной матрицей приводя ее к матрице, эквивалентной данной и приведение в конечном итоге к матрице единичного вида
-
СЛАУ задаваемая матрицей единичного вида по сути является решением данной системы уравнений a11…..a1n x1 y1 10…..00 x1 y1*
………… … = … ……… … = …
an1……ann xn yn 00….01 xn y2*
* означает, что значения изменились относительно первоначальных значений
значит x1=y1*….xn=yn* и эта схема не обладает обратным ходом.
Отводимая память P= n2
Трудоемкость D=1/2 n2
Применение метода:
метод используется, если много правых частей и значение их заранее известны и не требуется обратный ход