Билет 15.
1. Оценка погрешности решения СЛАУ. Различные нормы векторов и матриц. Неустранимая погрешность. Число обусловленности матрицы и его влияние на относительную погрешность решения СЛАУ.
Нормой вектора является противопоставление вектору x какого-либо скаляра ||x||, отвечающего требованиям:
-
||x||>0 и ||x||=0 только если x=0
-
||kx||=k||x|| для любого числа k и вектора x
-
||y+x||||x||+||y|| для любых векторов x и y
С
пособы
вычисления:
-
взятие суммы значений вектора
по модулю:
2
)
Нормой является корень суммы квадратов
модулей значений вектора:
3) Взятие максимального по модулю значения:
Нормой матрицы а является число
Обладающее основными свойствами:
-
||A||>0 и ||A||=0 только если A=0
-
||kA||=k||A|| для любого числа k и матрицы A
-
||A+B||||A||+||B|| для любых матриц A и B
-
||AB||||A|| ||B||
Выделяют три вида норм матриц и способа их вычисления, каждая из которых соответствует способу вычисления векторной нормы:
1
)Вычисление
максимальной суммы элементов матрицы
по столбцам:
2
)
Вычисление норма, используя евклидову
норму:
3) Вычисление максимальной суммы элементов матрицы по строке
Р
ассмотрим
влияние значений погрешностей в исходных
данных.
1) Пусть значения матрицы заданы и значения ее правой части заданы неточно, тогда решение будет с погрешностью.
Пусть дана Ax=y (1)
значения заданы с погрешностью:
A(x+x)=y+y
Ax+Ax=y+y, вычтем (1), получим:
Ax=y
x=A-1y
||x||||A-1|| ||y|| (из x=A-1y)
||A|| ||x||||y||
||x|| ||A-1|| ||A|| ||y||
||x|| ||y||
||x||cond A ||y||
значит мы определили, что значение относительной погрешности зависит от относительной погрешности правой части и от числа обусловленности системы.
Cond A=||A|| ||A-1|| - число обусловленности матрицы, если оно велико, то матрица плохо обусловлена, если мало, то наоборот.
2) рассмотрим случай когда коэффициенты матрицы заданы неточно
(A+A)(x+x)=y
x=(A +A)-1 y- A-1y=(( A +A)-1 - A-1)y= A-1A (A+A)-1 y
||x|| ||A-1|| ||A|| ||A||
||x+x|| ||A||
||x||CondA ||A||
||A||