Vych_mat / Vych_mat / Экз / 24-Билет(1,2)шшш

Билет 24

1). Метод Зейделя, метод верхней релаксации, методы факторизации, доказательство их сходимости для стационарных двухслойных схем.

Метод Зейделя

Пусть решается система уравнений Ax =b , все диагональные элементы которой ненулевые. В итерационном методе Зейделя последовательно уточняются компоненты решения, причем k-я компонента находится из k –го уравнения. Именно, если xⁿ = (xⁿ_1,......,xⁿ_m)^T,то следующее приближение определяется из системы сообношений

a₁₁ xⁿ⁺¹₁ + a₁₂ xⁿ₂ +.........+ a_1m xⁿ_m = b₁ ,

a₂₁ xⁿ⁺¹₁ + a₂₂ xⁿ⁺¹₂ + a₂₃ xⁿ₃.........+ a_2m xⁿ_m = b_2,

_{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .}

a_m1 xⁿ⁺¹₁ + a_m2 xⁿ⁺¹₂+.........+ a_mm xⁿ⁺¹_m = b_m.

Эту систему можно представить в виде Bxⁿ⁺¹ + Cxⁿ = b,

где

a₁₁ 0 0 . . . 0 0 a₁₂ a_{13 . . .} a_1m

B= a₂₁ a₂₂ 0 . . . 0 , C= 0 0 a_{23 . . .} a_2m

. . . . . . . . . . . . . .

a_m1 a_m2 a_m3 . . .a_mm 0 0 0 . . . 0

Отсюда получаем

xⁿ⁺¹ = -B^-1 Cxⁿ + B^-1b

Таким образом, метод Зейделя эквивалентен некоторому методу простой итерации; поэтому для его сходимости при любом начальном приближении необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения матрицы B^-1C по модулю были меньше 1.

Метод верхней релаксации

Модифицируем метод Зейделя. С этой целью введем параметр и запишем

(1)

В данном случае

, .(2)

При мы возвращаемся к методу Зейделя.

Соотношению (1) можно придать вид

(3)

Такая форма записи показывает, что параметр влияет на диагональ матрицы .

Для построения алгоритма вычисления очередной итерации нужно разделить в левой части рекуррентной формулы (2) члены, содержащие и , и придать ей форму:

.(4)

Если перейти от векторной записи к записи в виде отдельных уравнений, то можно получить для компонент очередной итерации формулы:

, . (5)

Исследуем условия сходимости метода верхней релаксации при дополнительном предположении, что матрица удовлетворяет условиям теоремы Самарского(А=А^т>0 –самосопряженная положительно определенная). Самосопряженность матрицы означает, что , . Отсюда следует

. (6)

Составим для рассматриваемого случая матрицу . Согласно (2)

. (7)

Запишем условие ее положительной определенности

. (8)

Второе слагаемое в выражении (7) не дает вклада в квадратичную форму (8) в силу соотношения(6).

Матрица является, по предположению, положительно определенной. Следовательно, все ее диагональные элементы строго положительны: , . Это означает положительную определенность матрицы : . В результате знак выражения (8) определяется знаком первого множителя, так что достаточное условие для сходимости итерационной последовательности метода верхней релаксации принимает вид:

Метод Зейделя, соответствующий случаю , удовлетворяет этому условию.

Методы факторизации

Факторизованное представление матрицы - представление матрицы в виде произведения матриц, они более простые, чем исходная.

B(x₁ - x₀)/τ + Ax₀ = Y; (1)

B= τA τA(x₁ - x₀) /τ + A x₀ =Y;

Ax₁ - Ax₀ + Ax₀ = Y;

Ax₁ = Y;

Требования к матрице В:

1. матрица В должна быть как можно ближе к матрице А, если они будут совпадать, то итерационный процесс сойдется за одну итерацию

2. должна быть легко обратимой

факторизованное представление:

A=A₁ + A₂ ; A₁ = A₂^T;

A₁ = A₁ + 1/2D;

= 0 + +

A₂= A₂+ 1/2D; 0

A A₁ D A₂

рассмотрим матрицу В:

B=(E- τ/2 A₁ ) (E+ τ/2 A₂ );

утверждение:

схема (1) сходится из любого начального приближения при такой матрице В,для любх значений τ

2). Решение дифференциального уравнения явным методом Эйлера.

Метод Эйлера

Пусть требуется найти приближенное решение дифференциального уравнения y' = f(x,y), удовлетворяющее начальному условию y(x₀) = y₀. При решении задачи методом Эйлера приближенное значение y₁ решения y(x) в точке x вычисляется по формуле y₁ = y₀ + (x-x₀)f(x₀,y₀). Приближенные значения y_i решения уравнения y(x) в точках x_i = x₀ +ih, i=1,2,...,n вычисляются по формулам y_i+1 = y_i + hf(x_i,y_i). Метод Эйлера является одношаговым методом первого порядка. Локальная погрешность метода Эйлера равна O(h²)