Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Vych_mat / Vych_mat / Экз / 26-Билетшшш

.doc
Скачиваний:
30
Добавлен:
24.03.2015
Размер:
89.6 Кб
Скачать

билет 26

1). Общая характеристика процессов численного решения систем дифференциальных уравнений, локальная погрешность интегрирования, численная устойчивость процесса интегрирования. Общая формула явных методов.

Процесс решения дифференциального уравнения сводится к нахождению каждого следующего значения путем перехода от одной точки, к следующей. При этом метод решения называется одношаговым, если по значению одной предыдущей точки узнают следующее, и многошаговым – если значение следующей точки узнают с помощью значений нескольких предыдущих точек.

Также, численные методы решения можно разделить на

  • Конечно-разностные (обычные, рассматриваемые нами)

  • Методы типа Ронге-Кутта

Можно выделить явные и неявные методы решения задачи. Примерами явных методов могут быть явный метод Эйлера, разложение в ряд Тейлора, а примерами неявных методов – метод Ньютона и неявный метод Эйлера.

Необходимо достичь стационарного состояния, когда решение уже не зависит от времени.

Численно устойчивый метод – если при h→∞, численное решение будет стремиться к истинному решению

Разложение в ряд Тейлора

- ряд Фурье

Общая формула явных численных методов решения дифференциальных уравнений

Явный метод Эйлера

Многошаговый метод надо разгонять

Чем больше p, тем больше можно использовать h, однако p больше 5 использовать не выгодно. Это экстраполяционный процесс.

Однако при численных решениях дифференциальных уравнений возникает ряд проблем, так как при переходе от одной точки к другой возникает погрешность, которая выливается в рассмотрение

  • Локальной погрешности

  • Численной неустойчивости

Таким образом шаг ограничен локальной погрешностью интегрирования

Пусть дано:

Протестируем на этой задаче явный метод Эйлера:

Условие численной устойчивости – главное условие

В среднем потребуется около 1024 шагов, чтобы дойти до конца

Выводы:

  1. Явные способы решения можно представить с помощью Метода Эйлера и ряда Тейлора

  2. Все численные методы решения систем дифференциальных уравнений определяют решение по шагам, причем явные методы построены по схеме, когда неизвестная величина находится только в одной части уравнения, а неявные – когда неизвестная величина x(ti) находится и в левой, и в правой частях.

  • все неявные методы до 4 порядка устойчивы

  • Неявный метод порядка i имеет такую же точность, как явный метод порядка (i+1)

2). Решение систем линейных алгебраических уравнений с разреженными матрицами, метод диагональной модификации.

Ax=Y;

* *

* - матрица заполнена коэффициентами меньше чем на 10%,все остальное 0

* *

матрицу будем считать разреженной, если этот факт даст повышение эффективности вычислений

если k<<n,то тогда можно не выполнять операции, результат которых заранее известен

метод Гаусса:

в процессе работы в матрице появляются новые ненулевые элементы

Отсюда надо выбирать такой ход работы, чтобы появление новых ненулевых элементов было min.

(n!)2 – количество перестановок, где n-разряд

возникает противоречие, с одной стороны нужно, чтобы ведущие элементы были наибольшие по модулю для получения решения с заданной точностью, с другой стороны ведущими надо выбирать такие элементы, которые порождают меньше всего новых элементов.

если матрица симметрична и положительно определена, то нужно заниматься минимализацией количества новых элементов.

для общего вида выбор компромиссных вариантов основан на эвристических приемах, не имеющих строгого теоретического обоснования.

количество ненулевых элементов при работе по методу Гаусса увеличивается примерно в 2-9 раз.

критерии упорядочивания:

  1. ранжируются все строки по количеству ненулевых элементов - чем меньше ненулевых элементов, тем раньше обрабатывается строка

  2. проводится пробное разложение- берется строка с наименьшим количеством элементов, делаем один шаг разложения

на завершающих этапах используются нормализованные процессы, импользуя методы работы с плотными матрицами, методом диагональной модификации:

.

а

δ x = Y (A+ ΔA) (x +Δx) = Y; (1)

с B U

. x + A Δx + ΔA x + ΔA Δx = Y; (сокращается)

(A+ ΔA) Δx = -ΔAx;

i

1

ΔA= q i = i 1 *q

(A + ΔA) Δx = - ei xiqi

B

V= Δx xi-1 qi-1

BV= -ei; (2)

Δx= V xiqi U= x+ Δx;

Ui= xi + δixiq

xi= Ui/(1+δiq)

x= U + Vq Ui/(1+δiq) – истинное решение

Соседние файлы в папке Экз