Vych_mat / Vych_mat / Экз / 23-Билет(1,2)шшш

Билет 23

2. Оценка погрешностей выполнения арифметических операций с парами чисел.

Сложение:

a=x1+x2

x1=x1*+1, 1

x2=x2*+2, 2

даны 2 числа х1и х2 с точными значением х1* и х2* и погрешностями 1, 2

и их сумма a.

тогда a= (x1*+1)+ (x2*+2)=(x1*+x2*)+(1+2)=a*+

значит абсолютная погрешность суммы не превосходит суммы абсолютной погрешности слагаемых.

||12

Вычитание:

Вычитанию соответствует аналогичный случай что и сложению, но неизвестно возрастет она или уменьшится

Умножение:

a=(x1*+1)(x2*+2)=x1*x2*+x1*2+x2*1+12=a*+ x1*2 +x2*1+12

Видно, что погрешность может увеличиваться, а моожет и уменьшиьтся.

|x1*|2+|x2*|+12, где 12 очень мало, а значит |x1*|2+|x2*|1

Деление:

a=x1/x2

=-a*+a=a-a*=x1 – x1* =x1*+1 – x1* = (x1*+1)x2* - (x2*+2)x1* =

x2 x2* x2*+2 x2* (x2+2)x2*

= x1*x2* +1x2* - x1*x2*-2x1* = 1x1* - 2x1*  x2*1+x1*2

(x2*+)x2* (x2*+)x2* (x2*)²

(x2*)² - влияет на величину погрешности. Погрешность тем меньше, чем больше знаменатель.

Значит при делении величина погрешности уменьшается при увеличении знаменателя.

1. Стационарная двухслойная схема. Теорема Самарского об условии ее сходимости.

При решении систем уравнений используя итерации (приближения), при которых находится не само решение системы, а находится некоторая последовательность, которая сходится к решению за конечное число шагов.

И важнейшей особенностью этого метода является то, что эти методы сходятся не для любой схемы, но любую схему можно привести к такому виду, чтобы итерационный метод сходился при любом приближении.

Каждый следующий член итерационной последовательности выражается через предыдущие, уже известные.

При обсуждении итерационных методов решения СЛАУ мы ограничимся линейными одношаговыми алгоритмами, которые обычно записывают в стандартной канонической форме:

для системы Ax=Y

B_k (x_k+1-x_k + Ax_k)₌ Y

_k+1

где , .

В такой записи процесс характеризуется последовательностью матриц и числовых параметров , которые называют итерационными параметрами. Если матрицы и параметры не меняются в процессе итераций, т. е. не зависят от индекса , то итерационный процесс называется стационарным.

Приведем данную формулу к виду

B_k x_k+1=Z_k , где Z_k=(B-A)x_k+Y

Требования к :

1)схема должна сходиться

2) сходимость должна быть быстрой

Требования к B:

1. Матрица должна быть общего вида

2. Должна быть легко обратимой

Рассмотрим стационарный итерационный процесс, когда матрица и итерационный параметр не зависят от индекса , и докажем следующую теорему о достаточных условиях его сходимости.

Теорема Самарского

Пусть дано Ax=Y, A=A^T, A>0, - положительно определенная матрица, - положительное число, .

Тогда стационарная двухслойная схема сходится к точному решению из любого начального приближения.