Math / Матан

	1.Дайте определение вектора и его координат.			перейти
	2.Расскажите о линейных операциях над векторами.			перейти
	3.Дайте определение скалярного произведения векторов. Расскажите о его свойствах.			перейти
	4.Дайте определение векторного произведения и расскажите о его свойствах.			перейти
	5.Дайте определение смешанного произведения и расскажите о его свойствах.			перейти
	6.Объясните, что такое система координат. Какие вы знаете системы координат?			перейти
	7.Что такое общее уравнение прямой? Что можно узнать о прямой по ее уравнению?			перейти
	8.Как находится расстояние от точки до прямой?			перейти
	9.Каковы условия параллельности и перпендикулярности прямых?			перейти
	10.Что такое общее уравнение плоскости в пространстве? Что можно узнать о			перейти
	плоскости по ее уравнению?
	11.Угол между плоскостями. Условия их параллельности и перпендикулярности.			перейти
	Расстояние от точки до плоскости.
	12.Как задается прямая в пространстве? Что такое ее канонические уравнения?			перейти
	13.Угол между прямыми, их параллельность и перпендикулярность. 14.Что такое			перейти
	кривые 2-го порядка?
	14. Что такое кривые второго порядка?			перейти
	15.Напишите канонические уравнения окружности, эллипса, гиперболы и параболы.			перейти
	Как они выглядят?
	16.Что такое поверхности 2-го порядка?			перейти
	17.Напишите	уравнения сферы и обоих параболоидов. Как они выглядят?		перейти
	18.Что такое числовая последовательность? Приведите примеры.			перейти
	19.Что такое неперово число е? Каково его приближенное значение?			перейти
	20.Что такое предел последовательности? Приведите примеры.			перейти
	21.Что такое график функции? Нарисуйте графики основных элементарных функций.			перейти
	22.Что такое предел функции? Приведите примеры.			перейти
	23.Что такое 1-й замечательный предел?			перейти
	24.Что такое 2-й замечательный предел?			перейти

	25.Расскажите о методах вычисления пределов основных типов. Приведите примеры.	перейти
	26.Дайте определение непрерывной функции. Приведите примеры.	перейти
	27.Что такое односторонние пределы и точки разрыва? Приведите примеры.	перейти
	(28)77.Что такое линейная система уравнений? Какие системы называют	перейти
	равносильными? Примеры.
	(29)78.Что такое элементарные преобразования?	перейти
	(30)79.Что такое ступенчатая система? Примеры.	перейти
	(31)80.Как произвольная линейная система приводится к ступенчатому виду?	перейти
	Рассмотрите пример.
	(32)81.Как по Гауссу решается ступенчатая линейная система? Пример.	перейти
	(33)82.Как устроено множество решений линейной системы уравнений? Примеры.	перейти
	(34)83.Что такое главные и свободные неизвестные системы? Примеры.	перейти
	(35)84.Что такое прямоугольные и квадратные матрицы? Примеры.	перейти
	(36)85.Что такое линейные операции над матрицами? Примеры.	перейти
	(37)86.Что такое произведение двух матриц? При каких условиях оно определено?	перейти
	Примеры.
	(38)87.Какие операции называют коммутативными? Покажите на примерах, что	перейти
	умножение матриц не коммутативно.
	(39)88.Что такое единичная и обратная матрицы? Как строится (по Гауссу) обратная	перейти
	матрица?
	(40)89.Что такое обратимая матрица? Условия обратимости.	перейти
	(41)90.Определение определителя. Пример его вычисления.	перейти
	(42)91.Как меняется определитель под действием элементарных преобразований?	перейти
	(43)92.Что такое треугольный определитель? Как он вычисляется?	перейти

1.Дайте определение вектора и его координат

Вектором( на плоскости или в пространстве) называют всякий направленный отрезок.

Всякий вектор можно выразить через единичный вектор (i,j)( координатные оси или орты)

- координаты вектора a

↑ назад в содержание ↑

2.Расскажите о линейных операциях над векторами.

1) сложение векторов

Сумму векторов определяют двумя равносильными способами:

а) суммой двух векторов называют диагональ параллелограмма построенного на этих векторах

b) Совместим начало второго вектора с концом первого. Суммой таких векторов считается замыкающаяся ломанной, образованной данным вектором

Свободные:

Операция сложения обладает следующими свойствами:

1. коммуникативность

2. ассоциативность

Нулевым считается вектор, конец которого совпадает с началом:

3.

Результат сложения нескольких векторов как и суммы	изображается замыкающейся
соответствующих векторов:

В частности сумма нескольких векторов равна 0 (т.е. вектор равен 0) в точности тогда, когда конец соответствующей ломанной совпадает с ее началом.

2. умножение векторов на число

Определение:
Пусть	некоторый вектор, а	- действительное число	. Вектор
определяется следующими условиями:

-он лежит на той же прямой, что и вектор

-его длина

-он направлен в ту же сторону, что и , если и в противоположную, если

.

(действительные числа в векторной алгебре называют так же скалярами)

Некоторые свойства этой операции:

↑ назад в содержание ↑

3.Дайте определение скалярного произведения векторов. Расскажите о его свойствах.

Скалярным произведение векторов называют скаляр выражающийся по формуле :

,- угол между .

- так же скаляр Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

1) Скалярное произведение не зависит от перемножения

2)

3)

4)

↑ назад в содержание ↑

4.Дайте определение векторного произведения и расскажите о его свойствах.

считаются образующими правую тройку, если 3 первых пальца правой руки можно одновременно ориентировать в направлениях этих векторов.

- правая тройка

- левая тройка

Если образуют правую тройку, то тройка векторов полученная из этой перестановки любых двух оказывается левой ( и наоборот)

Определение векторного произведения:

Векторным произведение векторов

называется такой вектор, обозначаемый

и определяемый следующими тремя условиями:

1)

2)

3)

1.

2.

Свойства векторного произведения :

1.

2.

3.

↑ назад в содержание ↑

5.Дайте определение смешанного произведения и расскажите о его свойствах.

Смешанное произведение определяется для трех векторов

Покажем, что модуль смешанного произведения есть объем параллелепипеда построенного а перемножении векторов.

Эта формула позволит вычислить объемы параллелепипеда, а поэтому и пирамиды Получим теперь формулу выражающую смешанное произведение через координатное сомножение

Сумма из трех больших чисел вектора компланарная.

Свойства смешанного произведения:

Очевидно, что если хотя бы один из умножаемых векторов нулевой, то смешанное произведение равно нулю.

Смешанное произведение так же равно нулю, если хотя бы два умножаемых равны

↑ назад в содержание ↑

6.Объясните, что такое система координат. Какие вы знаете системы координат?

Система координат - комплекс определений, реализующий метод координат, т.е. способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов.

Система координат необходима для изучения геометрических объектов с помощью уравнений, неравенств и других условий.

Системы координат бывают:

Декартовая система координат

Полярная система координат

↑ назад в содержание ↑

7.Что такое общее уравнение прямой? Что можно узнать о прямой по ее уравнению?

Общее уравнение прямой

Общее уравнение прямой линии на плоскости в декартовых координатах:

где , и — произвольные постоянные, причем постоянные и не равны нулю одновременно. Вектор с координатами называется нормальным вектором, он перпендикулярен прямой.

При прямая проходит через начало координат. Также уравнение можно переписать в виде

Уравнение прямой y=kx+b

Из уравнения прямой можно узнать где прямая пересекает оси Оx и Оy

↑ назад в содержание ↑

8.Как находится расстояние от точки до прямой?

Расстояние от точки до прямой – определение.

Расстояние от точки до прямой определяется через расстояние от точки до точки. Покажем как это делается.

Пусть на плоскости или в трехмерном пространстве задана прямая a и точка M1, не лежащая на прямой a. Проведем через точку M1 прямую b, перпендикулярную прямой a. Обозначим точку пересечения прямых a и b как H1. Отрезок M1H1 называется перпендикуляром, проведенным из точки M1 к прямой a.

Определение.

Расстоянием от точки M1 до прямой a называют расстояние между точками M1 и H1.

Однако чаще встречается определение расстояния от точки до прямой, в котором фигурирует длина перпендикуляра.

Определение.

Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, проведенного из данной точки к данной прямой.

Это определение эквивалентно первому определению расстояния от точки до прямой.

Обратите внимание на то, что расстояние от точки до прямой – это наименьшее из расстояний от этой точки до точек заданной прямой. Покажем это.

Возьмем на прямой a точку Q, не совпадающую с точкой M1. Отрезок M1Q называют наклонной, проведенной из точки M1 к прямой a. Нам нужно показать, что перпендикуляр, проведенный из точки M1 к прямой a, меньше любой наклонной, проведенной из точки M1 к прямой a. Это действительно так: треугольник M1QH1 прямоугольный с гипотенузой M1Q, а длина гипотенузы

всегда больше длины любого из катетов, следовательно, .