2.2 Уравнивание триангуляционной сети по принципу наименьших квадратов.

Принцип наименьших квадратов означает, что в результате уравнительных вычислений должны быть определены только те поправки, которые дают вероятнейшее значение измеренных величин. Таким образом определяемые поправки должны удовлетворять следующим условиям:

1. Поправки должны уничтожать невязки и удовлетворять в системе уравнений:

а₁v₁+a₂v₂+… +a_nv_n+w₁=0

в₁v₁₊b₂v₂+…+b_nv_n+w₂=0

с₁v₁+c₂v₂+…+c_nv_n+w₃=0

2. Поправки должны давать вероятнейшее значение измерены величин и удовлетворять свойству [VV] = min вероятнейших ошибок.

Уравнивание вставки пункта вставка пункта в жесткий угол

Рис. 4 Схема триангуляционной сети

Координаты:

Таблица 1

№ точек	х	у
Айдар	10241,97	2086,98
Шахта №1	5836,46	1212,35
Шахта №2	6160,08	5384,56

Исходные данные:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

1. Подготовка исходных данных

Табл. 2

Обозначения	ВА	ВС
хкон хнач ∆х	10241,97 5836,46 4405,51	6160,08 5836,6 323,62
укон унач ∆у	2086,98 1212,35 874,63	5384,56 1212,35 4172,21
tgr = ∆y : ∆x r α	0,19885309 11˚13′44″,3 11˚13′44″,3	12,892311 85˚33′52″,9 85˚33′52″,9
cosα sinα S = ∆x : cosα S = ∆у : sinα Sср	0,9808568 0,1947303 4491,492 4491,496 4491,494	0,0773334 0,997006 4184,739 4184,737 4184,738

2. Число условных уравнений (формула 1):

(1)

где W – общее число измерений

P – число вершин

D – число всех базисов

A – число всех дирекционных углов.

3. Составление условных уравнений (формула 2 – 9)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

4. Вычисление невязок:

Табл. 2 ∆АВД Табл. 3 ∆АЕД Табл. 4 ∆СДЕ

№	Значение			№	Значение			№	Значение
	˚	′	″		˚	′	″		˚	′	″
1	105	32	40	4	62	33	26	7	48	49	05
2	35	51	05	5	68	40	35	8	80	30	55
3	38	36	20	6	48	46	01	9	50	39	52
∑	180	00	05	∑	180	00	02	∑	179	59	52

W₁ = +5′′ W₂ = +2′′ W₃ = -8′′

Табл. 5 ∆ВСД Табл. 6

№	Значение
	˚	′	′′
10	35	44	03
11	39	00	02
12	105	15	40
∑	179	59	45

W₄ = -15′′ W₅ = -10′′

№	Значение
	˚	′	′′
1	105	32	40
5	68	40	35
8	80	30	55
12	105	15	4
∑	359	59	50

Табл. 7

Числитель						Знаменатель
№	Значения			lgsin	∆	№	Значения			lgsin	∆
	˚	′	′′				˚	′	′′
2	35	51	05	9,7676640	29,2	3	38	36	20	9,7951535	26,3
4	62	33	26	9,9481544	10,9	6	48	46	01	9,8762379	18,4
7	48	49	05	9,765772	18,4	9	50	39	52	9,8884305	17,3
10	35	44	03	9,7664317	29,3	11	39	00	02	9,7988770	26,0

∑_ч =39,3588273 ∑_з = 39,3586990

Табл. 8

Числитель				Знаменатель
№	Значение	lgsin	∆	№	Значение	lgsin	∆
АВ	4491,493	3,6523908	-	ВС	4184,740	3,6216682	-
2	35˚51′04″	9,76766400	29,2	1	105˚32′40″	9,9838169	-5,9
12	105˚15′04″	9,9844086	-5,7	11	39˚00′02″	9,7988770	26,0

∑_ч =23,4044634 ∑_з = 23,4043621

5. Определение коэффициентов нормальных уравнений.

6. Составление системы нормальных уравнений.

7. Решение нормольных уравнений по схеме Гаусса

Табл. 10

№	об оз.	К1	К2	К3	К4	К5	К6	К7	К8	W	S	контр.
1	а	3	0	0	0	1	1	0,28	3,51	5	13,79	13,79
2	Е1	-1	0	0	0	-0,333	-0,333	-0,093	-1,170	-1,667	-4,597	-4,596
3	b		3	0	0	1	0	-0,76	0	2	5,24
4	П1		0	0	0	0	0	0	0	0	0
5	b1		3	0	0	1	0	-0,76	0	2	5,24	5,24
6	Е2		-1	0	0	-0,333	0	0,253	0	-0,667	-1,747	-1,747
7	c			3	0	1	0	0,12	0	-8,0	-3,88
8	П1			0	0	0	0	0	0	0	0
9	П2			0	0	0	0	0	0	0	0
10	с1			3	0	1	0	0,12	0	-8,0	-3,88	-3,88
11	Е3			-1	0	-0,333	0	-0,04	0	2,667	1,293	1,294
12	d				3	1	1	0,333	-3,18	-15	-12,85
13	П1				0	0	0	0	0	0	0
14	П2				0	0	0	0	0	0	0
15	П3				0	0	0	0	0	0	0
16	d1				3	1	1	0,333	-3,18	-15	-12,85	-12,85
17	Е4				-1	0,333	-0,333	-0,11	1,06	5	4,283	4,284
18	e					4	0	0	0,01	-10	-1,99
19	П1					-0,333	-0,333	-0,11	1,06	5	4,283
20	П2					-0,333	0	-0,04	0	2,667	1,293
21	П3					-0,333	0	0,253	0	-0,667	-1,747
22	П4					-0,333	-0,333	-0,093	-1,17	-1,667	-4,597
23	e1					2,667	-0,667	0,01	-0,10	-4,667	-2,758	-2,757
24	Е5					-1	0,250	-0,004	0,037	1,750	1034	1,033
25	f						2	0,29	0	14,3	18,59
26	П1						-0,167	0,003	-0,025	-1,167	-0,690
27	П2						-0,333	-0,11	1,06	5	4,283
28	П3						0	0	0	0	0
29	П4						0	0	0	0	0
30	П5						-0,333	-0,093	-1,17	-1,667	-4,597
31	f1						1,167	0,090	-0,135	16,466	17,586	17,588
32	Е6						-1	-0,077	0,116	-14,11	-15,069	-15,071
33	g							41,79	15,29	128,3	185,63
34	П1							-0,007	0,010	-1,268	-1354
35	П2							0	0	0,019	0,011
36	П3							-0,036	0,350	1,650	1,414
37	П4							-0,005	0	0,320	0,155
38	П5							-0,192	0	0,506	1,326
39	П6							0,026	-0,326	-0,65	-12,82
40	g1							41,524	15,324	129,06	185,9	185,91
41	Е7							-1	-0,369	-3,108	-4,476	-4,477
42	i								15,98	101,3	132,91
43	П1								-5,654	-47,624	-68,597
44	П2								-0,016	1,910	2,040
45	П3								-0,004	-0,173	-0,102
46	П4								-3,377	-15,90	-13,621
47	П5								0	0	0
48	П6								0	0	0
49	П7								-4,107	-5,85	-16,134
50	i1								2,828	33,663	36,496	36,491
51	Е8								-1	-11,903	-12,905	-12,903

Продолжение табл. 10

№	об оз.	К1	К2	К3	К4	К5	К6	К7	К8	W
52	К1								-11,903	-11,903
53	К2							1,284	4,392	-3,108
54	К3						15,590	-0,099	1,381	-14,110
55	К4					-2,592	-3,897	-0,005	-0,440	1,750
56	К5				-1,704	0,863	5,191	-0,141	-12,617	5,00
57	К6			3,479	0	0,863	0	-0,051	0	2,667
58	К7		0,521	0	0	0,863	0	0,325	0	-0,667
59	К8	18,194	0	0	0	0,863	5,191	-0,119	13,926	-1,667

[aa]K₁+[ab]К₂+[ac]К₃+[ad]К₄+[ae]К₅+[af]К₆+[ag]К₇+[ai]К₈+W₁=0

[bb]К₂+[dc]К₃+[bd]К₄+[be]К₅+[bf]К₆+[bg]К₇+[bi]К₈+W₂=0

[cc]К₃+[cd]К₄+[ce]К₅+[cf]К₆+[cg]К₇+[ci]К₈+W₃=0

[dd]К₄+[de]К₅+[df]К₆+[dg]К₇+[di]К₈+W₄=0

[ee]К₅+[ef]К₆+[eg]К₇+[ei]К₈+W₅=0

[ff]К₆+[fg]К₇+[fi]К₈+W₆=0

[gg]К₇+[gi]К₈+W₇=0

[ii]К₈+W₈=0

3К₁+0К₂+0К₃+0К₄+1К₅+1К₆+0,28К₇+3,51К₈+5=0

0К₁+3К₂+0К₃+0К₄+1К₅+0К₆-0,76К₇+0К₈+2=0

0К₁+0К₂+3К₃+0К₄+1К₅+0К₆+0,12К₇+0К₈-8=0

0К₁+0К₂+0К₃+3К₄+1К₅+1К₆+0,33К₇-3,18К₈-15=0

1К₁+1К₂+1К₃+1К₄+4К₅+0К₆+0К₇+0,01К₈-10=0

1К₁+0К₂+0К₃+1К₄+0К₅+2К₆+0,29К₇+0К₈+14,3=0

0,29К₁-0,75К₂+0,11К₃+0,33К₄+0К₅+0,30К₆+41,79К₇+15,29К₈+128,3=0

3,51К₁+0К₂+0К₃-3,17К₄+0,01К₅+0К₆+15,29К₇+15,98К₈+101,3=0

Контроль:

3∙18,194-2,592-15,590+0,28∙1,284+3,51∙(-11,03)+5=-0,021

-2,592-0,76∙1,284+2+3∙0,521=-0,005

3∙3,479+(-2,592)+0,12∙1,284-8=0,001

3∙(-1,704)-2,592-5,590+0,33∙1,284-3,18∙(-11,903)-15=-0,018

18,194+0,521+3,479-1,704+4∙(-2,592)+0,01∙(-11,903)-10=0,0003

18,194-1,704+2∙ (-15,590)+0,29∙1,284+14,3= -0,018

0,29∙18,194-0,75∙0,521+0,11∙3,479+0,33∙(-1,704)+0,3∙

∙(-15,590)+41,79∙1,284+15,29∙(-11,903)+128,3= -0,01

3,51∙18,194-3,17∙(-1,704)+0,001∙(-2,592)+15,29∙1,284+15,98∙

∙(-11,903)+101,3=63,861+5,402-0,026+19,632-190,209+101,3= -0,04

8. Определение поправок в углы.

Первичный контроль [∑∑] = [KW]

Табл. 11

№	аK1 К1= 18.194	bK2 К2= 0.521	cK3 К3= 3.479	dK4 К4= -1.704	eK5 К5= -2.592	fK6 К6= -15.590	gK7 К7= 1.284	iK8 К8= -11.903	ɛ	ɛɛ
1	18,19				-2,60			-7,2	8,6	73,27
2	18,19						3,75	-34,76	-12,8	164,35
3	18,19					-15,59	-3,39		-0,8	0,62
4		0,52					+1,40		1,9	3,69
5		0,52			-2,60				-2,0	4,33
6		0,52					-2,38		-1,9	3,46
7			3,48				2,36		5,8	34,10
8			3,48		-2,60				0,9	0,77
9			3,48				-2,21		1,3	1,6
10				-1,70		-15,59	3,76		-13,5	183,06
11				-1,70			-3,34	30,95	25,91	671,33
12				-1,70	-2,60			6,90	2,6	6,76
W	5	2	-8	-15	-10	14,3	128,3	101,3	[∑∑]=	1147,35
KW	90,97	1,04	-27,83	25,56	25,92	-222,94	164,74	-1205,77	[KW]=	1147,31

[∑∑] = [KW]

9. Определение уравненных углов

Табл.12

№	Измеренные углы			ɛ	Уравненные углы
	˚	′	″		˚	′	″
1	105	32	40	8,6	105	32	48,6
2	35	51	05	-12,8	35	50	52,2
3	38	36	20	-0,8	38	36	19,2
4	62	33	26	1,9	62	33	27,9
5	68	40	35	-2,0	68	40	33,0
6	48	46	01	-1,9	48	45	59,1
7	48	49	05	5,8	48	49	10,8
8	80	30	55	0,9	80	30	55,9
9	50	39	52	1,3	50	39	53,3
10	35	44	03	-13,5	35	43	49,5
11	38	00	02	25,9	39	00	27,9
12	105	15	40	2,6	105	15	42,6

10. Вторичный контроль

Табл. 13 ∆АВД Табл. 14 ∆АЕД Табл. 15 ∆СДЕ

№	Значение			№	Значение			№	Значение
	˚	′	″		˚	′	″		˚	′	″
1	105	32	48,6	4	62	33	27,9	7	48	49	10,8
2	35	50	52,2	5	68	40	33,0	8	80	30	55,9
3	38	36	19,2	6	48	45	59,1	9	50	39	53,3
∑	180	00	00	∑	180	00	00	∑	180	00	00

Табл. 16 ∆ВСД Табл. 17

№	Значение
	˚	′	′′
10	35	43	49,5
11	39	00	27,9
12	105	15	42,6
∑	180	00	00

№	Значение
	˚	′	′′
1	105	32	48,6
5	68	40	33,0
8	80	30	55,9
12	105	15	42,6
∑	360	00	00

Табл. 18

Числитель					Знаменатель
№	Значения			lgsin	№	Значения			lgsin
	˚	′	′′			˚	′	′′
2	35	50	52,2	9,7676266	3	38	36	19,2	9,7951514
4	62	33	27,9	9,9481365	6	48	45	59,1	9,8762345
7	48	49	10,8	9,8765879	9	50	39	53,3	9,8884327
10	35	43	49,5	9,7663921	11	39	00	27,9	9,7989443

∑_ч =39,3587631 ∑_з = 39,3587629

Табл.19

Числитель			Знаменатель
№	Значение	lgsin	№	Значение	lgsin
АВ	4491,494	3,6523908	ВС	4184,738	3,6216682
2	35˚50′52″,2	9,7676266	1	105˚32′48″,6	9,9838118
12	105˚15′42″,6	9,9844071	11	39˚00′27″,9	9,7989443

∑_ч =23,4044245 ∑_з = 23,4044243

11. Оценка точности

Средняя квадратическая ошибка измеренного угла

Средняя квадратическая ошибка угла

11. Вывод: В соответствии с «Инструкцией…» триангуляционная сеть первого разряда должна выполнять следующие требования:

1) средняя квадратическая ошибка уравненного угла не более ±10";

2) угловые невязки треугольников не более ±20״;

3) минимальный измеренный угол в треугольнике не менее ±20˚.

В работе получены следующие результаты:

1) средняя квадратическая ошибка уравненного угла не превышает ± 10"

т = 6",8

2) Угловые невязки треугольников не превышают ±20״:

W₁ = +5"

W₂= +2"

W³ = -8"

W₄ = -15"

W₅ = -10"

3) Треугольник выгодной формы, так как минимальный измеренный угол в треугольнике равен .

12. Определение сторон.

Таблица 20

Схема		Уравн. углы	sinα	Длина	Назв.длины
	АВ	4491,494
	1	105˚32'48",6	0,96341182
	2	35˚50'52",2	0,58563458	2730,270	ВР
	3	38˚36׳19",2	0,6239520	2908,908	АД
	ВС	4184,738
	10	35˚43׳49",5	0,583972	533,103	СД
	11	39˚00׳27",9	0,62942523	2730,266	ВД
	12	105˚15׳42",6	0,96473362
	АД	2908,908
	4	62˚33׳27",9	0,88747538
	5	68˚40׳33",0	0,9315384	3053,335	АЕ
	6	48˚45׳59",1	0,75202912	2464,951	ДЕ
	СД	2533,103
	7	48˚49'10",8	0,75264056	2464,952	ДЕ
	8	80˚30'55",9	0,98633072	3230,303	СЕ
	9	50˚39'53",3	0,77345123

13. Определяю координаты пунктов Д и Е:

Таблица 21

	Д		Е
	С	А	С	А
αисх	26˚53'353	191˚13'44",3	304˚34'20",9	155˚22'52",1
	+	+	+	-
±β	39˚00'27",9	35˚50'52",2	48˚49'10",8	48˚45'59",1
αопр.	304˚34'20"	155˚22'52",1	353˚23'31",7	106˚36'53",1
хср	7597,483		9368,916
хопр	7597,482	7597,484	9368,924	9368,916
хисх	6160,080	10241,97	6160,080	10241,970
∆х	1437,402	-2644,486	3208,844	-873,054
соsα	+0,567447	+0,909099	+0,993357	-0,285935
S	2533,103	2908,908	3230,303	3053,335
sinα	-0,823410	+0,416580	-0,115074	+0,958248
∆y	-2085,782	+1211,793	-371,722	+2925,852
yисх	5384,560	2086,980	5384,560	2086,980
уопр	3298,773	3298773	5012,837	5012,832
уср	3298,775		5012,834