дифуравнения / дифуравнения-1 / тема9
.docТема: Системи лінійних диференціальних рівнянь
Теоретичні відомості
Означення. Нормальною системою диференціальних рівнянь називається система виду
(1)
Означення. Рішенням системи (1) називається сукупність функцій , які задовольняють всім рівнянням системи.
Означення. Загальним рішенням системи (1) називається сукупність рішень, які залежать від довільних констант
Означення. Частинним рішенням системи (1) називається рішення, яке задовольняє початковим умовам , де .
Розглянемо систему двох лінійних диференціальних рівнянь з двома невідомими функціями
, (2)
де . Застосуємо для розв’язання системи (2) метод виключення, який зводить розв’язання системи до розв’язання лінійного однорідного рівняння ІІ порядку з постійними коефіцієнтами.
Диференціюємо перше рівняння по :
. (3)
З першого рівняння дістаємо: , тоді з другого рівняння отримаємо: . Підставимо вираз для в (3): , або . Отже, ми прийшли до лінійного однорідного рівняння або
. (4)
З рівняння (4) знайдемо функцію , після чого знайдемо .
Рівняння (4) може бути записане у вигляді
Практичні завдання
Завдання 1. Розв’яжіть систему лінійних диференціальних рівнянь:
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
Завдання 2. Розв’яжіть задачу Коші:
2.1. , якщо
2.2. , якщо
2.3. , якщо