дифуравнения / дифуравнения-1 / тема4
.docТема: Рівняння в повних диференціалах.
Теоретичні відомості.
Означення. Якщо в диференціальному рівнянні
(1.15)
ліва частина є повним диференціалом деякої функції від незалежних змінних і , то таке рівняння називається диференціальним рівнянням в повних диференціалах.
Інакше кажучи, рівняння (1.15) є рівнянням в повних диференціалах, якщо існує така функція , що
.
В цьому випадку диференціальне рівняння (1.15) можна подати у вигляді
(1.16)
і його загальний інтеграл
. (1.17)
Нехай функції і визначені і неперервні в деякій області і мають в цій області неперервні частинні похідні по і по . Необхідною і достатньою умовою того, щоб рівняння (1.15) було рівнянням в повних диференціалах, є виконання рівності
. (1.18)
Якщо умова (1.18) виконана, то загальний інтеграл можна записати у вигляді
, (1.19)
або
, (1.20)
де точка належить області . Тут інтегрування проводилося по одній із змінних, інша змінна є при цьому параметром.
Рішення задачі Коші з початковими умовами в області , за умови, що в точці функції і водночас не перетворюються на нуль, отримаємо із загального інтегралу (1.19) або (1.20) при :
, (1.21)
або
. (1.22)
Практичні завдання.
Завдання 1. Знайти частинні похідні функцій:
1.1. .
1.2. .
1.3. .
1.4. .
1.5. .
1.6. .
Завдання 2. Знайти загальний інтеграл рівняння:
2.7. .
2.8. .
2.9. .
2.10. .
2.11. .
2.12. .
Завдання 3. Знайти частинний інтеграл рівняння, який задовольняє заданим початковим умовам:
2.13. , якщо .
2.14. , якщо .
2.15. , якщо .
Домашнє завдання: теоретичні відомості
Знайти загальний інтеграл рівняння .
Знайти частинний інтеграл рівняння , якщо .