дифуравнения / дифуравнения-1 / тема6

Тема: Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків. Лінійні однорідні рівняння з постійними коефіцієнтами

Теоретичні відомості

Означення. Рівняння

, (2.9)

де неперервні функції, визначені в інтервалі , називається лінійним диференціальним рівнянням го порядку.

Якщо функція , то рівняння (2.9) називається лінійним неоднорідним диференціальним рівнянням го порядку. В разі, якщо , то рівняння (2.9) називається лінійним однорідним диференціальним рівнянням го порядку.

Означення. Будь – які рішення лінійного однорідного рівняння

, (2.10)

для яких , називаються лінійно незалежними.

Для знаходження загального рішення однорідного рівняння (2.10) треба знати лінійно незалежних частинних рішень .

Теорема. Для того, щоб система рішень

(2.11)

була лінійно незалежною, необхідно і достатньо, щоб визначник

. (2.12)

Означення. Визначник (2.12) називається визначником Вронського, а система рішень (2.11) – фундаментальною системою рішень рівняння (2.10).

Якщо відома фундаментальна система рішень (2.11) однорідного рівняння (2.10), то його загальне рішення має вигляд

, (2.13)

де довільні константи.

Розглянемо лінійне однорідне рівняння го порядку з постійними коефіцієнтами

, (2.14)

де дійсні константи.

Побудуємо фундаментальну систему рішень. Частинне рішення рівняння (2.14) будемо шукати у вигляді

, (2.15)

де дійсне або комплексне число, яке підлягає визначенню. Знайдемо похідні функції :

(2.16)

Підставляючи (2.15) і (2.16) в (2.14), отримаємо

,

або

. (2.17)

Рівняння (2.17) називається характеристичним рівнянням диференціального рівняння (2.14).

Структура загального рішення рівняння (2.14) залежить від вигляду коренів характеристичного рівняння (2.17):

1. дійсні і різні корені. Тоді загальне рішення має вигляд

(2.18)

2. комплексно спряжені корені. В загальному рішенні цим кореням відповідає вираз вигляду

. (2.19)

3. дійсний кратний корінь. В загальному рішенні цьому кореню відповідає вираз вигляду

. (2.20)

4. комплексно спряжені корені кратності . В загальному рішенні цим кореням відповідає вираз вигляду

. (2.21)

Детальніше зупинимося на лінійному однорідному рівнянні другого порядку з постійними коефіцієнтами

, (2.22)

де дійсні числа.

Загальне рішення рівняння (2.22) має вигляд

, (2.23)

де фундаментальна система рішень.

Рівнянню (2.22) відповідає характеристичне рівняння

. (2.24)

Отже, знаходження частинних рішень рівняння (2.22) зводиться до розв’язання квадратного рівняння (2.24):

1. Нехай . Тоді

. (2.25)

2. Нехай . Тоді

. (2.26)

3. Нехай . Тоді

. (2.27)

Практичні завдання

Завдання 1. Скласти характеристичне рівняння лінійного однорідного рівняння з постійними коефіцієнтами:

1.1 .

1.2. .

1.3. .

1.4. .

1.5. .

1.6. .

1.7. .

1.8.

1.8. .

1.9. .

1.10. .

1.11. .

Завдання 2. Знайти загальне рішення лінійного однорідного рівняння з постійними коефіцієнтами, якщо відомі корені характеристичного рівняння:

2.1. .

2.2. .

2.3. .

2.4. .

2.5. .

2.6. .

2.7. .

2.8. .

2.9. .

Завдання 3. Скласти лінійне однорідне рівняння ІІ порядку з постійними коефіцієнтами, якщо відоме його загальне рішення:

3.1. .

3.2. .

3.3. .

Завдання 4. Проінтегрувати рівняння із завдання 1.

Завдання 5. Розв’язати задачу Коші:

5.1. , якщо .

5.2. , якщо .

5.3. , якщо .

5.4. , якщо .

5.5. , якщо .

5.6. , якщо .

5.7. , якщо .