Подставим вместо dv/dt

	F dh Q Q f 2gh
		dt		1	2
				тогда
	dh		1	Q1 Q2 f		2gh ,
	dt		F
d		1 Q1 1 Q2 2 (Q1 Q2 )
dt	V

Марковские цепи

Для описания многих явлений, которые можно представить как совокупность ряда состояний, в современной вычислительной математике находит применение теория цепей Маркова. Очень эффективно эта теория используется в случае явлений, описываемых моделями с распределенными параметрами.

рассмотрим диффузионное осаждение тяжелых частиц в жидкости, приняв

одномерную модель.

•Частица, находящаяся в i -м слое, в результате случайных блужданий может перейти за время d t в прилегающие соседние слои, один из которых расположен выше, а другой – ниже данного слоя с вероятностью

соответственно Pi,i-1 и Pi,i+1 или оставаться в данном слое с вероятностью Pi,i. Первый индекс вероятностей указывает, из какого слоя переходит данная частица, а второй — в какой слой.

Частицы могут переходить и на более

удалённые слои, то есть Pi,i-j , …, Pi,i+1.

U1 U2 U3 U4

U1	P11	P12	P13	P14
P U2	P21	P22	P23	P24
U3	P31	P32	P33	P34
U4	P41	P42	P43	P44

k
Pi, j 1	i (1,..., k)
j 1

Пользуясь матричным исчислением, можно представить переход из одной временной совокупности состояний

at U1 ,U 2 ,...U k

в совокупность состояний для момента времени

at 1 U1 ,U 2 ,...U k

при помощи умножения вектора аt на матрицу Р в виде

at 1 at P.

Например, при размерности матрицы, равной трем, имеем:

	U1,U2 ,U3	P11	P12	P13
at 1		P21	P22	P23
		P31	P32	P33

Тогда

U1t 1 U1t P11 U2t P21 U3t P31

U2t 1 U1t P12 U2t P22 U3t P32

U3t 1 U1t P13 U2t P23 U3t P33

Если речь идет о количестве частиц в замкнутом резервуаре,

то соблюдается закон сохранения

U tj 1 U tj const.

Связь между дифференциальным уравнение в частных производных параболического типа и цепями Маркова

• уравнения Фоккера-Планка:

	y	A	y	D	2 y
	t		x		x2

• где в общем случае A,D = const.

производные в виде конечных разностей

y	y0t 1 y0	;	y	y x y x ;
t	t		x	2 x

2 y y x 2y0 y xx2 x2

Конечно-разностный аналог уравнения

yt 1

y

A

y

y

x D

y

2y

y

x .

0

0

x

x

x

0

t

2 x

2

t 1

t

t

t

y0

y0

1 2D

y x

A

D

x

2

2 x

x

2

	t	D	t
y x A	2 x		x	2

Обозначая
b A	t	,	c D	t	,
	2 x			x2

имеем

y0t 1 y0 1 2c y x b c y x (b c)

Обозначим также Рi,i=1-2c, Pi-1,i= - b+c,

Pi+1,i= - b+c

Так как b>0 и с>0, то для устойчивости решения требуется лишь, чтобы Рi,j ≥ 0. Отметим также, что здесь имеет место закон сохранения величины (массы, импульса и т.д.)

Pi, j 1

i, j

Расчет марковской цепи

Uit 1 Pi 1,iUi 1 Pi,iUi Pi 1,iUi 1.