Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Л.Т. Моисеева

Методы математического моделирования процессов в машиностроении

Курс лекций

Курск 2008

ОГЛАВЛЕНИЕ

Лекция 1

введение 3

Глава 1. Цели и задачи математического моделирования процессов и систем 3

1.1. Понятие «математическая модель» 3

1.2. Классификация математических моделей 5

Контрольные вопросы к лекции 1 6

1.3. Геометрическое представление математических моделей 7

Глава 2. Теоретические Математические модели аналитического типа 8

2.1. Построение математической модели сверления лазером 9

Контрольные вопросы к лекции 2 10

2.2. Линейные математические модели 11

2.3. Исследование простейшей математической модели работы газотурбинного двигателя 13

2.4. Нелинейные детерминированные модели 15

2.4.1. Полиномиальные модели 15

2.4.2. позиномные модели 16

Контрольные вопросы к лекции 3 16

2.4.3. Математическая модель кратчайшего пути 17

Контрольные вопросы к лекции 4 19

2.5. Математическая модель в виде обыкновенных дифференциальных уравнений 20

2.6. Модели, заданные в виде уравнений в частных производных 21

Контрольные вопросы к лекции 5 23

2.7. Стохастические модели 24

Контрольные вопросы к лекции 6 26

Глава 3. Эмпирические математические модели 27

3.1 Идентификация эмпирических математических моделей 27

3.2. Использование метода наименьших квадратов 29

Контрольные вопросы к лекции 7 30

3.3. Статистические методы проверки адекватности математических моделей 31

Контрольные вопросы к лекции 8 33

3.4. Идентификация параметров математической модели силы резания токарной операции 34

Контрольные вопросы к лекции 9 36

3.5. Выбор оптимальной эмпирической модели 37

3.6. Использование критерия Фишера для проверки значимости высших степеней математической модели 38

Контрольные вопросы к лекции 10 39

Глава 4. Математические модели теории принятия решений 40

4.1. Общие сведения о теории принятия решений 40

4.2. Общая математическая модель формирования оптимальных решений 41

4.3. Построение и решение оптимизационной задачи принятия решения (Задача о баке) 42

Контрольные вопросы к лекции 11 43

4.4. Многокритериальные задачи принятия решений 44

4.5. Построение решений, оптимальных по Парето (Двухкритериальная задача о баке) 46

Контрольные вопросы к лекции 12 47

2 Рубежный контроль введение

В

Лекция 1

торая половинаXXвека связана с появлением и широким распространением новой методологии исследования сложных объектов и систем. В ее основе лежит метод математического моделирования и реализованные на его основе вычислительные эксперименты. Математические модели использовались и раньше. Они позволяли уже тогда анализировать недоступные или несуществующие объекты и процессы. Например:

1. Планета Уран была открыта путем анализа возмущений орбит трех планет (Леверье).

2. К.Э. Циолковский показал, что для преодоления земного притяжения требуется первая космическая скорость, а не скорость света.

Однако считалось, что методы математического моделирования не пригодны для исследования сложных технических, экономических, биологических и социальных систем. В области техники отсутствие объективных математических методов привело, с одной стороны, к созданию многочисленных частных, так называемых инженерных методик расчета, носивших рецептурный характер, а с другой – к полному безраздельному господству эмпирики (натурных экспериментов).

Недостаточно полная проработка вариантов приводила к субъективным решениям.

Положение начало меняться во второй половине XXв. при развитии средств вычислительной техники, в частности современных ЭВМ, которое дало в руки исследователей новое эффективное средство моделирования сложных систем. В настоящее время не существует объектов, при изучении которых не применялись бы методы математического моделирования. Разработаны и активно используются математические модели технических устройств, модели разнообразных технологических процессов, экономические модели предприятий, регионов и целых государств, экологические модели, модели геологических и геофизических процессов, модели социальных систем, биологические и медицинские модели.