Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Высшая метематика_Контрольная 4 / КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №4.doc
Скачиваний:
21
Добавлен:
26.03.2015
Размер:
3.54 Mб
Скачать

I. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Частные производные функции нескольких переменных определяются как производные этой функции по одной из них при условии, что остальные переменные считаются постоянными.

Пример 1. Дана функция .

Найти: 1) полный дифференциал ;

2) частные производные второго порядка и;

3) смешанные частные производные и .

Решение. 1) Полный дифференциал функции вычисляется по формуле

Рассматривая как постоянную величину, получим:

Аналогично, рассматривая как постоянную, будем иметь:

Полный дифференциал имеет вид:

или .

2) Частными производными второго порядка функции называются частные производные от её производных первого порядка.

3) Смешанные частные производные

.

. Смешанные производные, отличающиеся только порядком дифференцирования, равны между собой при условии их непрерывности.

.

Аналогично решаются номера №101-105.

Пример 2. Дана функция .

Показать, что.

Рассматривая как постоянную величину, найдем

.

Рассматривая как постоянную величину, найдем

.

Подставим найденные значения ив равенство, получим:

;

;

, равенство доказано.

Аналогично решаются №106, 108, 109.

Пример 3. Дана функция .

Показать, что .

Найдем ,

.

Подставим значения ив соотношение:

, равенство доказано.

Пример 4. Дана функция .

Показать, что .

Найдем

.

Найдем

Найдем

Найдем

.

Подставим найденные значения , , в соотношение:

.

;

;

.

Равенство верно.

Подобно тому, как решаются примеры 2, 3, 4, можно выполнить задания №№ 106 - 110.

Пример 5. Дано уравнение поверхности в неявном виде

Составить уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к данной поверхности в точке , если абсцисса и ордината этой точки заданы

Решение: обозначим .

Уравнение касательной плоскости в точке поверхности имеет вид:

,

где ,,- значение частных производных в точке, а текущие координаты точки касательной плоскости.

Уравнение нормали:

здесь - текущие координаты точки нормали.

Подставив в уравнение поверхности , найдем

Точка имеет координаты.

Найдем ,

,

,

,

.

Уравнение касательной плоскости:

,

,

.

Уравнение нормали:

.

Аналогично решаются задачи №№ 111 –115 .

Пример 6. Дана функция и точкии. Найти приближенное значение данной функции в точке, исходя из ее точного значенияи заменяя приращениесоответствующим дифференциалом, т.е. применяя формулу

(*)

Запишем формулу (*) в виде

(**)

имеем:

.

Подставляя найденные значения в формулу (**)

,

,

.

Аналогично решаются задания №№ 116 – 120.

Пример. Найти экстремум функции

Решение: функция определена на всей плоскости. Находим частные производные 1-го порядка.

Решая систему , находим критические точки.

Отсюда ;

Критические точки .

Чтобы установить наличие экстремума в критических точках, вычисляем значение

, где.

-критическая точка.

При этом: 1) если , то- есть точка экстремума: при(или) точка максимума, а при(или) точка минимума.

2) если , то в точкенет экстремума.

3) если , то для решения вопроса о наличии или отсутствии экстремума в точкетребуется дальнейшее исследование, например, по знаку приращениявблизи этой точки.

Найдем .

Для точки получим,,,, следовательно, в точкенет экстремума.

Для точки имеем,,

Т.к. ) то точкаесть точка минимума.

Аналогично решаются задачи №№ 131 –140.