Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Высшая метематика_Контрольная 4 / КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №4.doc
Скачиваний:
21
Добавлен:
26.03.2015
Размер:
3.54 Mб
Скачать

5. Интегрирование некоторых иррациональных функций

К интегралам от функций, рационально зависящих от тригонометрических функций, сводятся интегралы:

- подстановкой;

- подстановкой;

- подстановкой, т.е.

Найти .

Полагаем: , тогда

,

где , т.е.

.

Известна формула , где. С учетом этой формулы

.

Найти .

Полагаем , тогда.

,где.

Известна формула: . С учетом этой формулы

.

С помощью специальных тригонометрических подстановок находятся интегралы в №1(б)-10(б).

III. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Для вычисления определенного интеграла, когда можно найти соответствующий неопределенный интеграл, служит формула Ньютона- Лейбница

.

Определенный интеграл равен разности значений неопределенного интеграла при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Вычислить .

1.Замена переменой в определенном интеграле

Если определенный интеграл преобразуется путем замены(или) в другой интеграл с новой переменной интегрирования, то заданные пределы интегрированияизаменяются новыми пределамии, которые определяются из исходной подстановки.

Вычислить .

Вводим новую переменную интегрирования, полагая, что

Отсюда находим ,,

Находим новые пределы интегрирования

при

при

Подставляя, получим:

.

Преобразуем подынтегральную дробь:

Тогда

Аналогично вычисляются интегралы в №21-30

2) Интегрирование по частям в определенном интеграле

Вычислить .

Полагая ;.

Получим ;;

.

Подставляя в формулу интегрирования по частям найденные значения, получим

Аналогично выполняются интегралы в №31-40

3. Приближенное вычисление определенных интегралов

а) Вычислить сначала по формуле Ньютона- Лейбница, а затем приближенно по формуле Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 равных частей. Вычисления производить с округлением до четвертого десятичного знака. Сравнить полученные результаты.

Сначала вычислим интеграл по формуле Ньютона- Лейбница, применив формулу интегрирования по частям.

Полагаем ;.

Тогда ;.

Подставляя найденные значения в формулу интегрирования по частям, получим

.

.

Учитывая, что получим, что по формуле Ньютона- Лейбница

.

Делим интервал интегрирования на 10 равных частей, находим длину одной части

, точки деления и значения подынтегральной функции в этих точках:

.

Формула параболических трапеций (Симпсона) - число четное

.

Следовательно,

.

.

Абсолютная ошибка этого результата составляет .

Относительная ошибка составляет:

.

Аналогично решаются №41-50

б) Найти точное значение по формуле Ньютона- Лейбница, а затем приближенно по формуле трапеции; разбивая отрезок интегрирования на 8 равных частей и производя вычисления с округлением до четвертого десятичного знака; сравнить полученные результаты, вычислив относительную погрешность в процентах.

Вычислим по формуле Ньютона- Лейбница.

.

.

Далее делим интервал интегрирования на 8 равных частей. Находим длину одной части, точки деленияи значенияподынтегральной функции в этих точках:

.

Формула трапеций:

. .

Абсолютная ошибка этого результата составляет .

Относительная ошибка составляет

.

Аналогично решаются №51-60.