- •Методические указания
- •Луганск 2002
- •Методические указания
- •Луганск 2002
- •I. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- •II. Неопределенный интеграл
- •1.Интегралы от функций, содержащих квадратный трехчлен
- •2. Интегрирование рациональных дробей
- •3.Интегрирование по частям
- •4. Интегрирование некоторых тригонометрических функций
- •5. Интегрирование некоторых иррациональных функций
- •4. Некоторые геометрические положения определенных интегралов
- •5. Несобственные интегралы
- •IV. Обыкновенные дифференциальные уравнения и их системы
- •Контрольная работа №4 Найти неопределенные интегралы
- •Контрольная работа №5
- •131. .
- •281. 282.
- •Методические указания
- •91034,Г. Луганск,кв Молодежный, 20а
5. Интегрирование некоторых иррациональных функций
К интегралам от функций, рационально зависящих от тригонометрических функций, сводятся интегралы:
- подстановкой;
- подстановкой;
- подстановкой, т.е.
Найти .
Полагаем: , тогда
,
где , т.е.
.
Известна формула , где. С учетом этой формулы
.
Найти .
Полагаем , тогда.
,где.
Известна формула: . С учетом этой формулы
.
С помощью специальных тригонометрических подстановок находятся интегралы в №1(б)-10(б).
III. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Для вычисления определенного интеграла, когда можно найти соответствующий неопределенный интеграл, служит формула Ньютона- Лейбница
.
Определенный интеграл равен разности значений неопределенного интеграла при верхнем и нижнем пределах интегрирования.
Вычислить .
1.Замена переменой в определенном интеграле
Если определенный интеграл преобразуется путем замены(или) в другой интеграл с новой переменной интегрирования, то заданные пределы интегрированияизаменяются новыми пределамии, которые определяются из исходной подстановки.
Вычислить .
Вводим новую переменную интегрирования, полагая, что
Отсюда находим ,,
Находим новые пределы интегрирования
при
при
Подставляя, получим:
.
Преобразуем подынтегральную дробь:
Тогда
Аналогично вычисляются интегралы в №21-30
2) Интегрирование по частям в определенном интеграле
Вычислить .
Полагая ;.
Получим ;;
.
Подставляя в формулу интегрирования по частям найденные значения, получим
Аналогично выполняются интегралы в №31-40
3. Приближенное вычисление определенных интегралов
а) Вычислить сначала по формуле Ньютона- Лейбница, а затем приближенно по формуле Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 равных частей. Вычисления производить с округлением до четвертого десятичного знака. Сравнить полученные результаты.
Сначала вычислим интеграл по формуле Ньютона- Лейбница, применив формулу интегрирования по частям.
Полагаем ;.
Тогда ;.
Подставляя найденные значения в формулу интегрирования по частям, получим
.
.
Учитывая, что получим, что по формуле Ньютона- Лейбница
.
Делим интервал интегрирования на 10 равных частей, находим длину одной части
, точки деления и значения подынтегральной функции в этих точках:
.
Формула параболических трапеций (Симпсона) - число четное
.
Следовательно,
.
.
Абсолютная ошибка этого результата составляет .
Относительная ошибка составляет:
.
Аналогично решаются №41-50
б) Найти точное значение по формуле Ньютона- Лейбница, а затем приближенно по формуле трапеции; разбивая отрезок интегрирования на 8 равных частей и производя вычисления с округлением до четвертого десятичного знака; сравнить полученные результаты, вычислив относительную погрешность в процентах.
Вычислим по формуле Ньютона- Лейбница.
.
.
Далее делим интервал интегрирования на 8 равных частей. Находим длину одной части, точки деленияи значенияподынтегральной функции в этих точках:
.
Формула трапеций:
. .
Абсолютная ошибка этого результата составляет .
Относительная ошибка составляет
.
Аналогично решаются №51-60.