Шпоры по вышке 1

55.Определение, условие существования и вычисление обратной матрицы. Обратной матрицей A^-1 для кв матр А называется такая матрица, если: А* A^-1= A^-1*А=Е , где Е — единичная матрица того же порядка, что и А. 56.Решение систем линейных алгебраических уравнений. Ранг матрицы.Теорема Кронекера-Капелли.Методы решения систем линейных алгебраических уравнений:1)Прямые и итерационные методы. 2)Метод Гаусса (схема частичного выбора). 3)Метод Холецкого. 4)Метод прогонки. Рангом матрицы А назыв.наибольший из порядков миноров матрицы А, отличных от нуля. Раенг нулевой матрицы считается равным нулю. Алгоритм вычисления ранга матрицы: 1) матрица приводится к ступенчатому с помощью элементарных преобразований 2)кол-во нулевых строк в полученной матрице будет равно рангу первоначальной матрицы. Св-ва: 1) ранг матрицы не превосходит меньшего из ее размеров 2)ранг матрицы равен нулю только когда матрица нулевая 3)ранг матрицы не изменится если ее транспонировать 4)ранг матрицы не изменится если вычеркнуть все нулевые строки и столбцы 5) элементарные преобразования матрицы не меняют ее ранга.   Теорема: Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы. 57.Векторы на плоскости и в пространстве и линейные операции над ними. Примеры.Вектором, как на плоскости, так и в пространстве, называется направленный отрезок, то есть такой отрезок, один из концов которого выделен и называется началом, а другой — концом. При этом сонаправленные и равные по длине отрезки считаются одним и тем же вектором. Линейными операциями над векторами называется сложение сложение векторов и умножение на число. Свойства линейных операций: Сложение векторов коммутативно: a+b=b+a. Сложение векторов ассоциативно:.(a+b)+c=a+(b+c). Прибавление нулевого вектора к любому не меняет последнего: a+0=a. Очевидно, . Для любого вектора существует вектор такой, что или . Умножение вектора на число ассоциативно: . Умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения чисел: . Доказательство сводится к перечислению всех возможных знаков α и β, в каждом случае утверждение очевидно. Умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения векторов: . Очевидно, умножение на единицу не меняет вектор: .58. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис в R² и R³. Разложение произвольного вектора по базису. Система из векторов называется линейно зависимой, если существуют такие числа , не все равные нулю одновременно, что Система из векторов называется линейно независимой, если равенство (1.1) возможно только при , т.е. когда линейная комбинация в левой части (1.1) тривиальная. Свойства линейно зависимых и линейно независимых векторов: 1. Если в систему векторов входит нулевой вектор, то она линейно зависима 2. Если в системе векторов имеется два равных вектора, то она линейно зависима. 3. Если в системе векторов имеется два пропорциональных вектора , то она линейно зависима. 4. Система из векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов есть линейная комбинация остальных. 5. Любые векторы, входящие в линейно независимую систему, образуют линейно независимую подсистему. 6. Система векторов, содержащая линейно зависимую подсистему, линейно зависима. 7. Если система векторов линейно независима, а после присоединения к ней вектора оказывается линейно зависимой, то вектор можно разложить по векторам , и притом единственным образом, т.е. коэффициенты разложения находятся однозначно. Любой вектор векторного пространства можно разложить по его базису и притом единственным способом. 59.Декартов базис. Координаты вектора. Векторное пространство Rⁿ . Понятие векторных функций скалярного аргумента*, их непрерывность и дифференцируемость.Декартов базис – базис, состоящий из векторов единичной длины и попарно ортогональных. Координа́ты ве́ктора ― коэффициенты единственно возможной линейной комбинации базисных векторов в выбранной системе координат, равной данному вектору. Векторное пространство R ⁿ определяется как множество всех n-мерных векторов, для которых определены операции умножения на действительные числа и сложение. 60.Проекция вектора на ось (направление). Свойства проекций. Проекция вектора на ось есть скалярная величина, равная произведению модуля проектируемого вектора на косинус угла между положительными направлениями оси и вектора. Свойства проекций: 1. где Если, тогда изАВК имеем Если, тогда КА = 2. Проекция суммы векторов на ось равна сумме проекций векторов наДоказательство геометрическое . 3. Доказательство проводится с помощью свойства 1. 61.Скалярное произведение векторов Скалярным произведением а̄*b‾векторов а̄ и в̄ называется число (скаляр), равное произведению модулей этих векторов или cos угла а̄ˆ в̄ =φ между ними: Свойства:1) ;2); 3) ;4) .62.Выражение скалярного произведения через координаты сомножителей.Если и , то 63.Векторное произведение векторов:Векторным произведением вектора на называется вектор ,обладающий свойствами: 1) ;2) образуют правую тройку;3) Свойства 1)если то 2) ; 3) ; 4); 5) 64.Выражение векторного произведения через координаты сомножителей. Если два вектора  и  определены своими координатами, т.е представлены в базисе a=(a_x,a_y,a_z) и b=(b_x,b_y,b_z) а система координат правая, то их векторное произведение имеет вид [a,b]=(a_yb_z-a_zb_y, a_zb_x-a_xb_z, a_xb_y-a_yb_x) Для запоминания этой формулы удобно использовать определитель Если система координат левая, то их векторное произведение имеет вид [a,b]=(a_zb_y-a_yb_z, a_xb_z-a_zb_x, a_yb_x-a_xb_y) Для запоминания:

65.Угол между векторами, условие коллинеарности и перпендикулярности векторов. Векторы называются коллинеарными, если их направленные отрезки лежат на параллельных прямых. Коллинеарные векторы  a и b  обозначаются a || b. Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда угол между ними прямой, т.е. когда эти векторы перпендикулярны (ортогональны): (a,b)=0↔a┴b.  Угол между векторами :      66.Смешанное произведение abc трех векторов а, b, c называется скалярное произведение вектора а×b и вектора с. Свойства смешанного произведения : 1)abc = (a×b)c = a(b×c) = bca = cab = - acb = - cba 2) если а={a1,a2,a3} b={b1,b2,b3} c={c1,c2,c3} то abc= определителю матрицы 3на3 составленной из этих векторов. 3)V_пар=|abc|; V_{треуг.призмы}=1/2|abc| 4) V_пир=1/6|abc| 6) авс=0 <=> a, b , c - комплонарны. Геометрический смысл: 3 и 4 свойство. 69. Уравнение прямой на плоскости: 1)по точке и угл. коэффициенту: М(х0,у0), tg a = K : y-y0=K(x-x0) 2)по 2-ум точкам: М1(x1,y1) M2(x2,y2) : (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1) 3) Каноническое ур-ние: l={lx, ly} – направляющий вектор M( x0 , y0) : (x-x0)/lx=(y-y0)/ly 4) по нормальному вектору и точке: n={A,B}, M(x0,y0): A(x-x0)+B(y-y0)=0 5)Общее ур-ие прямой: n={A,B} Ax+By+C=0 6) ур-ие прямой в отрезках (х/а)+(y/b)=1 Расстояние от точки до прямой: M0(x0,y0), Ax+By+C=0: d=|(Ax0+By0+C)/√A²+B²| 70. Расположение двух прямых на плоскости.Угол между прямыми: L1=k1x+b1 L2=k2x+b2 => tg A = |(k2-k1)/(1+k1*k2)| Условия параллельности и перпендикулярности: L1||L2 <=> k1=k2 ; L1_I_L2 (перпенд.) <=> k1*k2=-1 71.Эллипс: определение, каноническое уравнение, зависимость формы от эксцентриситета. Директрисы эллипса.Эллипсом назыв мн-во всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек F1 и F2, называемых фокусами, есть величина постоянная (большая, чем расстояние между фокусами). Каноническое уравнение: x²/a² + y²/b² = 1 (a>0,b>0); a – большая, b – малая полуоси эллипса;(a;0), (-a;0), (0;b), (0;-b) – вершины эллипса;c² = a² – b²;ε = c/a, (ε < 1) – эксцентриситет эллипса.(x – x₀)²/a² + (y – y₀)²/b² = 1 – уравнение эллипса с осями, параллельными координатным, и центром симметрии О₁(x₀;y₀)72.Гипербола: определение, каноническое уравнение, эксцентриситет, асимптоты. Директрисы* гиперболы.Гиперболой назыв мн-тво всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек F1 и F2, называемых фокусами, есть величина постоянная (меньшая, чем расстояние между фокусами).Каноническое уравнение:x²/a² – y²/b² = 1;a – действительная, b – мнимая полуоси;(a;0), (-a;0) – вершины гиперболы;c² = a² + b², ε=c/a, (ε>1) – эксцентриситет гиперболы.(x – x₀)²/a² - (y – y₀)²/b² = 1 – уравнение гиперболы с осями, параллельными координатным осям.73.Парабола: определение, каноническое уравнение, исследование формы.Параболой назыв мн-во всех точек плоскости, каждая из которых равноудалена от данной точки, называемой фокусом F, и данной прямой, называемой директрисой ℓ.Каноническое уравнение:y² = 2px,p>0 – расстояние от фокуса до директрисы – параметр параболы. Вершина параболы – точка О(0;0), ось О_х – ось симметрии.Уравнение директрисы ℓ параболы: х = -p/2.Парабола с вершиной в начале координат, симметричная относительно оси О_у, имеет уравнение x² = 2py.74.Различные виды уравнения прямой в пространстве. Расстояние между прямыми.Виды уравнения прямой в пространстве:1. Прямая как пересечение плоскостей: l: {A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 и A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 02. Каноническое уравнение прямой:(x–x₁)/m = (y-y₁)/n = (z-z₁)/p;s = {m;n;p}|| ℓ - направляющий вектор прямой.М₁(x₁;y₁;z₁)ϵ ℓ - точка3. Параметрическое уравнение прямой(tϵR): {x = x₁ + mt,y = y₁ + nt,z = z₁ + pt.;s = {m;n;p}|| ℓ - направляющий вектор прямой. М₁(x₁;y₁;z₁)ϵ ℓ - точка.4. Уравнение прямой по двум заданным точкам:(x-x₁)/(x₂-x₁) = (y-y₁)/(y₂-y₁) = (z-z₁)/(z₂-z₁)Две точки: М₁(x₁;y₁;z₁)ϵℓ, М₂(x₂;y₂;z₂)ϵℓ75.Угол между прямыми в пространстве, условия параллельности и перпендикулярности.Углом между прямыми в пространстве будем называть любой из смежных углов, образованный двумя прямыми, проведёнными через произвольную точку параллельно данным.Пусть в пространстве заданы две прямые:

Очевидно, что за угол φ между прямыми можно принять угол между их направляющими векторами и . Так как , то по формуле для косинуса угла между векторами получим

.Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых равносильны условиям параллельности и перпендикулярности их направляющих векторов S1 и :Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их соответствующие коэффициенты пропорциональны, т.е. l₁ параллельна l₂ тогда и только тогда, когда s1 параллелен .Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма произведений соответствующих коэффициентов равна нулю: m₁m₂+n₁n₂+p₁p₂=076.Различные виды уравнения плоскости в пространстве. Расстояние от точки до плоскости.Всякое уравнение первой степени относительно координат x, y, z. Ax + By + Cz +D = 0  задает плоскость. Особые случаи уравнения :1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - плоскость проходит через начало координат.2. C = 0, Ax+By+D = 0 - плоскость параллельна оси Oz.3. C = D = 0, Ax +By = 0 - плоскость проходит через ось Oz.4. B = C = 0, Ax + D = 0 - плоскость параллельна плоскости Oyz. Расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на эту плоскость.77.Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Угол между плоскостями.

Под углом между двумя плоскостями будем понимать один из двугранных углов, образованных этими плоскостями.

Условие параллельности двух плоскостейДве плоскости α₁ и α₂ параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы и параллельны, а значит .Итак, две плоскости параллельны друг другу тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих координатах пропорциональны:или Условие перпендикулярности плоскостей. Ясно, что две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы перпендикулярны, а следовательно, или .Таким образом, .78.Угол между прямой и плоскостью, условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.Углом между прямой и плоскостью будем называть угол, образованный прямой и её проекцией на плоскость. Пусть прямая и плоскость заданы уравнениями

Значит, уравнение имеет вид:Условие перпендикулярности прямой и плоскости. Прямая и плоскость перпендикулярны тогда и только тогда, когда направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости коллинеарны, т.е. .Условие параллельности прямой и плоскости. Прямая и плоскость параллельны тогда и только тогда, когда векторы и перпендикулярны. 79.Понятие поверхности в пространстве. Поверхности вращения, цилиндрические, конические и их примеры. Исследование поверхностей методом сечения плоскостями*.Поверхности определяется как множество точек, координаты которых удовлетворяют определённому виду уравнений: F(x,y,z)=0.Любое уравнение, связывающее координаты x, y, z любой точки поверхности является уравнением этой поверхности.Поверхностью вращения общего вида называют поверхность, которая образуется произвольной кривой (плоской или пространственной) при ее вращении вокруг неподвижной оси. Они могут быть линейчатыми, например конус или цилиндр вращения, и нелинейчатыми или криволинейными, например сфера. Определитель поверхности вращения включает образующую l и ось i. Поверхность называется цилиндрической, если она образована параллельным перемещением некоторой прямой, называемой образующей, вдоль некоторой кривой, называемой направляющей(прим.: цилиндр).Коническая поверхность образуется при движении прямой, которые пересекаются в собственной точке S, называемой вершиной, и пересекают направляющую а.(прим.: конус). 80.Поверхности второго порядка и их классификация. Поверхностью второго порядка называется множество всех точек пространства, координаты которых удовлетворяют алгебраическому уравнению второй степени

a₁₁x² + a₂₂y² + a₃₃z² + 2a₁₂xy + 2a₂₃yz + 2a₁₃xz + 2a₁₄x + 2a₂₄y + 2a₃₄z + a₄₄ = 0, где все коэффициенты а – действительные числа. Виды поверхностей второго порядка:

- эллипсоид, -мнимый эллипсоид

- однополостный гиперболоид, -двуполостный гиперболоид,

- эллиптический параболоид, - гиперболический параболоид;