1. Элементы комбинаторики: размещения, перестановки, сочетания. Привести примеры.

Определение 1.Размещениемизnэлементов поm называется любойупорядоченный наборизmразличных элементов, выбранных из генеральной совокупности вnэлементов.

Пример 1. Различными размещениями из трех элементов {1, 2, 3} по два будут наборы (1,2), (2,1), (1, 3), (3,1), (2,3),(3,2). Размещения могут отличаться друг от друга как элементами, так и их порядком. Число размещений обозначаетсяи вычисляется по формуле:

Определение 2. Сочетаниемизnэлементов поmназывается любойнеупорядоченный наборизmразличных элементов, выбранных из генеральной совокупности вnэлементов.

Пример 2. Для множества {1, 2, 3}сочетаниями являются {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}. Число сочетаний обозначаетсяи вычисляется по формуле:

Определение 3. Перестановкойизnэлементов называется любойупорядоченный наборэтих элементов.

Пример 3.Всевозможными перестановками множества, состоящего из трех элементов {1, 2, 3} являются: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3), (3, 2, 1), (3, 1, 2). Число различных перестановок из n элементов обозначаетсяи вычисляется по формуле

2. Случайный эксперимент. Основные особенности. Привести пример. Случайным экспериментом или испытанием называется осуществление какого-либо комплекса условий, который можно практически или мысленно воспроизвести сколь угодно большое число раз.

Основные особенности: множественность исходов, непредвиденность результата, многократность повторения (при одних и тех же условиях), наличие определённых закономерностей при многократном повторении.

Примеры случайного эксперимента: подбрасывание монеты, извлечение одной карты из перетасованной колоды.

3. Случайные события. Виды случайных событий. Действия над событиями. Полная группа событий. Противоположные события. Результат (исход) испытания называетсяслучайным событием(или просто: событием).

Виды событий:Различают события совместные и несовместные. События называются совместными, если наступление одного из них не исключает наступления другого. В противном случае события называются несовместными.

Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет в условиях данного опыта.

Событие называется невозможным, если оно не может произойти в условиях данного опыта. Событие называется возможным, или случайным, если в результате опыта оно может появиться, но может и не появиться.

События называются равновозможными, если по условиям испытания ни одно из этих событий не является объективно более возможным, чем другие. Важным понятием является полная группа событий. Несколько событий в данном опыте образуют полную группу, если в результате опыта обязательно появится хотя бы одно из них. Введем понятие противоположного, или дополнительного, события. Под противоположным событием понимается событие, которое обязательно должно произойти, если не наступило некоторое событие. Противоположные события несовместны и единственно возможны. Они образуют полную группу событий.

Действия над событиями:

Суммой, или объединением, нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий.

Произведением, или пересечением, нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

4. Классическое определение вероятности. Привести пример. Вероятность события равна отношению числа случаев, благоприятствующих ему, из общего числаединственно возможных, равновозможных и несовместных случаев к числу, т. е.

(.)

Пример вопросу №4. Из набора, содержащего 10 одинаковых на вид электроламп, среди которых 4 бракованных, случайным образом выбирается 5 ламп. Какова вероятность, что среди выбранных ламп будут 2 бракованные?

5. Геометрическая вероятность. Привести пример. Пусть на плоскости задана некоторая область площадью, в которой содержится другая областьплощадью(рис. 3). В областьнаудачу бросается точка. Чему равна вероятность того, что точка попадет в область? При этом предполагается, что наудачу брошенная точка может попасть в любую точку области, и вероятность попасть в какую-либо часть областипропорциональна площади части и не зависит от ее расположения и формы. В таком случае вероятность попадания в областьпри бросании наудачу точки в область

Таким образом, в общем случае, если возможность случайного появления точки внутри некоторой области на прямой, плоскости или в пространстве определяется не положением этой области и ее границами, а только ее размером, т. е. длиной, площадью или объемом, то вероятность попадания случайной точки внутрь некоторой области определяется как отношение размера этой области к размеру всей области, в которой может появляться данная точка. Это есть геометрическое определение вероятности.

6. Относительная частота. Устойчивость относительной частоты. Статистическая вероятность. Пусть произведеноnиспытаний, при этом некоторое событие А наступилоmраз. Числоmназываетсяабсолютной частотой(или просто частотой) появления события А, а отношение ω(A)=m/nназываетсяотносительной частотойпоявления случайного события А в данной серии опытов. С увеличением числа испытаний в сериях относительная частота приближается к некоторому числу Р(А), стабилизируясь возле него и принимая всё более устойчивые значения.

Статистической вероятностьюсобытия А называется число Р(А), около которого группируются значения относительной частоты события А при большом числе опытов (испытаний).