вышка
.pdfВопросы к экзамену по высшей математике
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
1.Множества: определение, основные числовые множества. Операции над множествами.
2.Способы задания функции одной переменной. Классификация функций: чѐтные, нечѐтные, монотонные, периодические, элементарные.
3.Функция как отображение, множество определения и значений, график функции. Сложная функция. Определение и свойства обратной функции.
4.Открытые множества на прямой, плоскости и в пространстве. Окрестность точки. Определение предела функции в точке. Свойства пределов.
5.Предел функции одной переменной (на языке окрестностей и на языке « », « »). Предел последовательности.
6.Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства. Примеры. Основные теоремы о пределах.
7.Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые функции и их применение при нахождение пределов. Примеры.
8.Первый замечательный предел. Примеры.
9.Второй замечательный предел. Примеры.
10.Определение непрерывности функции в точке. Основные теоремы о непрерывных функциях.
11.Условие непрерывности в точке функции одной переменной. Классификация точек разрыва. Непрерывность элементарных функций.
12.Свойства функций, непрерывных на замкнутом промежутке, их применение при исследовании уравнений и неравенств.
13.Задачи, приводящие к понятию производной.
14.Производная и еѐ связь с дифференциалом, геометрический и механический смысл. Уравнение касательной.
15.Дифференцируемость функции, связь с непрерывностью. Линеаризация и еѐ геометрический смысл
16.Основные правила дифференцирования, таблица производных, логарифмическое дифференцирование.
17.Производные основных элементарных функций.
18.Гиперболические функции и их производные.
19.Производные высших порядков. Дифференцирование неявно и параметрически заданных функций.
20.Производная сложной функции и производная обратной функции. Примеры.
21.Дифференцируемость функций. Геометрический смысл производной и дифференциала.
22.Инвариантность формы первого дифференциала. Дифференциалы высших порядков.
23.Теорема Ферма.Необходимое условие локального экстремума.
24.Теорема Ролля.
25.Теоремы Лагранжа и Коши (формулы конечных приращений).
26.Правило Лопиталя. Примеры.
27.Формула Тейлора. Представление остаточного члена в форме Пеано, Лагранжа.
28.Формула Тейлора для e x , sin x , cos x , ln 1 x , 1 x m и еѐ применение при приближѐнных вычислениях.
29.Условия монотонности (возрастания, убывания) дифференцируемой функции.
30.Локальные экстремумы функции и «правила» их нахождения. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на замкнутом промежутке.
31.Выпуклые и вогнутые функции. Точки перегиба и их нахождение.
32.Асимптоты графика фунции. Примеры.
33.Общая схема исследования функции и построение еѐ графика.
34.Комплексные числа: определение и действия над комплексными числами в алгебраической форме. Формы записи комплексных чисел. Формула Муавра
35.Действия над комплексными числами в тригонометрической форме. Извлечение корня n -ой степени из комплексного числа. Показательная форма комплексного числа.
36.Понятие о функциях комплексной переменной.
37.Неопределѐнный интеграл и его основные свойства. Таблица неопределѐнных интегралов.
38.Интегрирование заменой переменной. Примеры.
39.Интегрирование по частям. Примеры.
40.Интегрирование простейших рациональных функций. Примеры.
41.Алгоритм интегрирования рациональных функций. Примеры.
42.Интегрирование функций, рационально зависящих от тригонометрических. Метод рационализации.
43.Метод рационализации при интегрировании простейших иррациональных функций.
44. Интегралы типа R x; 
ax2 bx c dx .
ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ И ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
45.Матрицы. Основные понятия и действия над матрицами.
46.Определители второго и третьего порядка, их вычисление и основные свойства.
47.Определение, условие существования и вычисление обратной матрицы.
48.Решение систем линейных алгебраических уравнений по правилу Крамера и методом обратной матрицы.
49.Ранг матрицы.Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли.
50. Понятие векторных функций скалярного аргумента, их непрерывность и дифференцируемость.
51.Векторы на плоскости и в пространстве и линейные операции над ними. Примеры.
52.Линейная зависимость и независимость векторов. Базис в R2 и R3 . Разложение произвольного вектора по базису.
53.Декартов базис. Координаты вектора. Векторное пространство Rn .
54.Проекция вектора на ось (направление). Свойства проекций.
55.Скалярное произведение векторов: определение, основные свойства, примеры.
56.Выражение скалярного произведения через координаты сомножителей.
57.Векторное произведение векторов: определение, основные свойства, примеры.
58.Выражение векторного произведения через координаты сомножителей.
59.Угол между векторами, условие коллинеарности и ортогональности (перпендикулярности) векторов.
60.Смешанное произведение векторов: определение, свойства, геометрический смысл.
61.Выражение смешанного произведения через координаты сомножителей.
62.Приложение векторов к решению задач: деление отрезка в данном отношении, расстояние между точками, вычисление площади треугольника, работы силы, объѐма параллелепипеда.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ
63.Различные виды уравнения прямой на плоскости. Угол между прямыми.
64.Взаимное расположение двух прямых не плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности.прямых на плоскости. Расстояние от точки до прямой.
65.Полярные координаты. Связь с декартовыми.
66.Эллипс: определение, каноническое уравнение, зависимость формы от эксцентриситета.
67.Гипербола: определение, каноническое уравнение, эксцентриситет, асимптоты.
68.Парабола: определение, каноническое уравнение, исследование формы.
69.Различные виды уравнения прямой в пространстве. Угол между прямыми.
70.Условия параллельности и перпендикулярностипрямых. Скрещивающиеся прямые.
71.Различные виды уравнения плоскости в пространстве. Угол между плоскостями.
72.Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Расстояние от точки до плоскости.
73.Угол между прямой и плоскости, условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.
74.Понятие поверхности в пространстве. Поверхности вращения, цилиндрические, конические и их примеры
75.Поверхности второго порядка и их классификация.
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
76.Определение функции нескольких переменных. Предел и непрерывность функции.
77.Частные производные и частные дифференциалы функции двух переменных.
78.Производные сложных и неявно заданных функций. Примеры.
79.Понятие дифференцируемости функции двух переменных. Полный дифференциал.
80.Производная по направлению. Градиент.
81.Поверхности уровня. Уравнение касательной плоскости к поверхности.
82.Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
83.Экстремумы функций двух переменных.
84.Нахождение наибольшего и наименьшего значений на компакте. Понятие об условном экстремуме.