Начертательная геометрия

В данном случае через прямую AB проведена горизонтально-проецирующая плоскость β. На горизонтальной плоскости проекций линия пересечения плоскостей MN совпадает с горизонтальным следом этой плоскости. Построив фронтальную проекцию прямой M''N'' находим фронтальную проекцию точки пересечения ее с прямой AB – K'', после чего по линии связи находим горизонтальную проекцию точки K'. В завершении определяем видимость прямой AB относительно точки пересечения.

4.5. Перпендикулярность прямой и плоскости

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум прямым этой плоскости, например ее горизонтали и фронтали.

Пример 1: Провести перпендикуляр из точки D к плоскости треугольника ABC. Решение задачи начинают с построения горизонтали h (h', h'') и фронтали f (f', f'')

плоскости треугольника (см. рис. 4.16). Затем к этим прямым проводят из точки D перпендикуляр n, как показано на рисунке.

а	б

Рис. 4.16

Прямая n перпендикулярна плоскости α(ABC), так как n h и n f (на основании свойства ортогонального проецирования).

При построении на комплексном чертеже перпендикуляра к плоскости нужно иметь в виду следующее: если n α(h ∩ f), то фронтальная проекция перпендикуляра перпендикулярна фронтальной проекции фронтали, а его горизонтальная проекция – горизонтальной проекции горизонтали (n' h'; n'' f'''). Действительно и обратное утверждение.

Замечание: Построенный перпендикуляр не определяет расстояние от точки D до плоскости! Полученные точки пересечения перпендикуляра с фронталью и горизонталью не являются точками пересечения перпендикуляра с плоскостью. Точка пересечения находится с помощью дополнительных построений (секущих плоскостей), подобно тому, как это было рассмотрено в предыдущем подразделе.

Приведенное решение используется при определении расстояния от точки до плоскости и до других более сложных поверхностей.

Пример 2: Определить расстояние от точки С до прямой AB (рис. 4.17).

41

	∆
	∆
а	б
	Рис. 4.17

Решение: Расстояние от точки до прямой измеряется натуральной величиной отрезка перпендикуляра, опущенного на нее из этой точки. Поскольку данная прямая – горизонталь, то в соответствии со свойством проецирования прямого угла горизонтальная проекция перпендикуляра перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали. Проводим перпендикуляр из C' к A'B', затем строим на его горизонтальной проекции вспомогательный прямоугольный треугольник для определения натуральной величины отрезка перпендикуляра CK.

4.6. Перпендикулярность двух плоскостей

Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них содержит прямую, перпендикулярную к другой плоскости. Поэтому построение перпендикулярных плоскостей сводится к построению взаимно перпендикулярных прямой и плоскости.

Пример 1:Провести через прямую m плоскость, перпендикулярную плоскости треугольника ABC (рис. 4.18).

а	б

Рис. 4.18

Решение: На рис. 4.16 была рассмотрена задача на построение перпендикуляра из заданной точки к плоскости треугольника. Данная задача сводится к предыдущей, если на прямой m задать точку D и провести через нее перпендикуляр n к плоскости треугольника ABC. Полученная таким образом плоскость будет задана двумя пересекающимися прямыми, m и n, одна из которых перпендикулярна плоскости треугольника

42

ABC. А как известно, плоскость, содержащая перпендикуляр к другой плоскости, сама перпендикулярна этой плоскости.

	Пример 2: Плоскость α задана сле-
	дами f0α''	и hα0'.	Построить плоскость β,
	перпендикулярную		заданной. Расстояние
	между плоскостями произвольное. Плос-
	кость β	задать пересекающимися прямы-
	ми (рис. 4.19).
	Решение:	Проводим прямую l, перпенди-
	кулярную плоскости α (l' hα0' и l'' f0α'').
	Затем заключаем эту прямую в какую-либо
	плоскость. Для этого выбираем на прямой l
	произвольную точку A и проводим через
	нее произвольную прямую m. Полученная
	таким образом плоскость β будет искомой,
	так как она задана двумя пересекающими-
Рис. 4.19	ся прямыми, m и l, из которых одна пер-
	пендикулярна плоскости α.

4.7. Перпендикулярность прямых

Определение: Две прямые перпендикулярны, если одну из них можно заключить в плоскость, перпендикулярную другой прямой.

Таким образом, чтобы провести прямую n перпендикулярно заданной прямой l, следует вначале построить плоскость α l, как это было рассмотрено в разделе 4.5, а затем в этой плоскости провести произвольную прямую. Все прямые этой плоскости будут перпендикулярны прямой l.

4.8.Вопросы для контроля

1.Как построить на чертеже плоскость, параллельную другой плоскости?

2.Как определить на чертеже расстояние от точки до прямой частного положения?

3.Как построить точку пересечения плоскости с прямой линией общего положения? Приведите примеры.

4.Покажите на примерах построение прямой и плоскости, параллельных плоскости общего положения.

5.Расскажите, как построить прямую, перпендикулярную плоскости общего положения. Приведите примеры.

6.Приведите примеры построения прямой линии, перпендикулярной проецирующей плоскости.

7.Как определить на чертеже расстояние от точки до проецирующей плоскости? Приведите примеры.

8.Сформулируйте, как построить на чертеже плоскость, перпендикулярную другой плоскости общего положения. Приведите примеры.

9.Расскажите, как построить линию пересечения двух плоскостей. Приведите пример.

10.Сформулируйте условие перпендикулярности двух прямых общего положения.

43

Глава 5 СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОМПЛЕКСНОГО ЧЕРТЕЖА

Решение пространственных задач на комплексном чертеже значительно упрощается, если интересующие нас элементы фигуры занимают частное положение. Переход от общего положения геометрической фигуры к частному выполняется следующими способами:

1)введением дополнительных плоскостей проекций, расположенных либо параллельно либо перпендикулярно рассматриваемому геометрическому элементу;

2)изменением положения линии или плоской фигуры в пространстве при неизменной системе плоскостей проекций.

Получающиеся в этом случае вырожденные проекции помогают решению многих задач по начертательной геометрии.

5.1. Способ замены плоскостей проекций

Сущность способа заключается в том, что на существующих плоскостях проекций строятся дополнительные плоскости проекций, расположенные параллельно или перпендикулярно заданному геометрическому объекту. При этом новая плоскость проекций обязательно должна быть перпендикулярна к одной из имеющихся плоскостей проекций. В результате образуется новая система взаимно перпендикулярных плоскостей проекций, заменяющая прежнюю.

Введем в систему плоскостей проекций π1/π2 новую плоскость проекций π4 (рис. 5.1). В результате будем иметь другую систему – π1/π4. При этом проецирование остается ортогональным, т.е. новое направление проецирования S перпендикулярно плоскости π4. В результате получается комплексный чертеж, представленный на рис. 5.2.Можно ввести новую плоскость проекций, сохранив в качестве общей (связующей) плоскости не π1, а π2. При этом все построения проводят аналогично предыдущему случаю.

z

			A''
B''	B	B	DZ
			x

A'

	A''	B'
		A	A
x		A'	x

x

DZ

A IV

Рис. 5.1

Рис. 5.2

Рассмотрим основные задачи преобразования комплексного чертежа.

5.1.1. Перевод прямой общего положения в положение прямой уровня

Для преобразования прямой AB в прямую уровня (т.е. параллельно плоскости проекций) (рис. 5.3) вводят новую плоскость проекций π4 так, чтобы ось проекций x14 была параллельна какой-либо проекции AB (в данном случае – A'B'), затем откладывают на новой плоскости проекций от оси x14 координаты Z для построения точек AIV и BIV, равные координатам Z точек A″ и B″. Новая проекция прямой AIVBIV дает натуральную величину отрезка AB и позволяет определить угол наклона ϕ1 этого отрезка к плоскости

44

проекций π1. Угол наклона отрезка AB к фронтальной плоскости проекций ϕ2 можно определить, построив его изображение на дополнительной плоскости проекций π5 π2 (рис. 5.4). Ось x15 параллельна фронтальной проекции отрезка A''B''.Проекция AVBV также будет представлять собой натуральную величину отрезка AB.

x

x

x

x

Рис. 5.3

Рис. 5.4

5.1.2. Перевод прямой уровня в проецирующее положение

x

x

Рис. 5.5

Чтобы на новой плоскости проекций изображение прямой уровня преобразовалось в точку (рис. 5.5.), надо эту плоскость расположить перпендикулярно данной прямой, т.е. провести на комплексном чертеже ось проекций перпендикулярно направлению проекции прямой на общую плоскость проекций. Горизонталь будет иметь своей проекцией точку на плоскости π4 π1. Аналогичные построения можно выполнить и для фронтали. В этом случае новая плоскость проекций π5 π2.

Для построения вырожденной в точку проекции прямой общего положения необходимо последовательно решить две предыдущие задачи. Другими словами, выполняется двойная замена плоскостей проекций. В новой системе эта прямая должна стать проецирующей.

x

x

На рис. 5.6 представлена такая задача. Прямая общего положения l (AB) сначала переводится в положение прямой уровня

введением плоскости проекций π4 π1 (AIV BIV π4), а затем в положение проеци-

рующей прямой в системе плоскостей π4/π5 (AV BV π5). На плоскости π5 прямая l изобразится в виде точки.

Рис. 5.6

45

	5.1.3. Перевод плоскости общего положения в проецирующее положение
	Известно, что если одна плоскость перпендикулярна другой, то она должна со-
держать прямую, перпендикулярную этой плоскости. В качестве такой прямой для пре-
образований и перевода плоскости в проецирующее положение можно взять прямую
уровня, например, горизонталь, как это показано на рис. 5.7.
		Используя рассуждения и построе-
		ния, приведенные в предыдущем разделе,
		переведем горизонталь h в проецирующее
		положение, вводя новую плоскость проек-
x		ций π4. Проецируем точки плоскости тре-
		угольника ABC на плоскость проекций π4,
		беря их координаты Z с плоскости π2, т.е.
		заменяем плоскость π2 на π4. Поскольку
		проекция плоскости треугольника AIVBIVCIV
		на плоскость π4 вырождена в прямую, она
	x	будет служить геометрическим местом всех
	Рис. 5.7	точек, принадлежащих этой плоскости.
	5.1.4. Перевод проецирующей плоскости в положение плоскости уровня

x

x

Если заданная плоскость перпендикулярна одной из плоскостей проекций, то с помощью замены плоскостей проекций ее можно переместить в положение плоскости уровня. Решение этой задачи позволяет определить натуральную величину плоской фигуры (рис. 5.8.).

		Пусть задана фронтально-проециру-
		ющая плоскость α (∆ABC π2). Вводим новую
		плоскость проекций π4, параллельную α. Но-
		вая ось проекций x24 по этой причине будет
		расположена параллельно α, т.е. в системе
		плоскостей проекций π2 / π4 плоскость α зай-
	Рис. 5.8	мет положение плоскости уровня. Треуголь-
		ник ABC будет проецироваться на плоскость
		π4 в натуральную величину.

5.1.5. Перевод плоскости общего положения в плоскость уровня

Если в исходном положении плоскость занимает общее положение, а нужно получить ее изображение как плоскости уровня, то прибегают к двойной замене плоскостей проекций, решая последовательно две предыдущие задачи.

Пример: Преобразовать чертеж так, чтобы плоскость общего положения стала параллельной одной из плоскостей проекций новой системы.

Пусть дан треугольник ABC, плоскость которого занимает общее положение (рис. 5.9). Нужно создать такую новую ортогональную систему плоскостей проекций, в которой плоскость треугольника займет положение, параллельное одной из них.

46

x x

x

Рис. 5.9

В системе π1/π2 такую плоскость построить нельзя. Действительно, плоскость, параллельная треугольнику, не будет перпендикулярна ни π1, ни π2, т.е. она не образует с плоскостями проекций ортогональной системы.

Решение задачи требует двойной замены плоскостей проекций. При первой замене (π2 на π4) используется горизонталь треугольника h. Новая ось проекций x14 проводится перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали h'. Спроецировав треугольник ABC на новую плоскость проекций π4, получим проекцию AIVBIVCIV π4. Этот процесс был описан выше.

На втором этапе преобразуем плоскость треугольника ABC в плоскость уровня. Для этого перейдем от системы π1/π4 к системе π4/π5 (см. рис. 5.9). Новая плоскость π5 устанавливается параллельно треугольнику, а значит, новая ось x45 на чертеже проводится параллельно прямой, на которой расположены точки AIV, BIV, CIV . Через указанные точки проводят перпендикуляры – линии связи к новой оси и откладывают на них от оси x45 в плоскости π5 отрезки, равные по длине расстояниям от оси x14 до вершин A', B' и C' соответственно. Полученная проекция AVBVCV определяет истинную величину треугольника.

Подобные двойные преобразования используются для решения задач на определение углов при вершинах треугольника, построение высот, биссектрис, вписанных (описанных) окружностей и т. п.

5.2. Способ плоскопараллельного перемещения

При плоскопараллельном перемещении заданная фигура движется в пространстве так, что все ее точки перемещаются в плоскостях, параллельных друг другу и (как правило) параллельно одной из плоскостей проекций. Сами траектории точек фигуры произвольны.

5.2.1. Плоскопараллельное перемещение отрезка

На рис.5.10 показано плоскопараллельное перемещение отрезка из первоначально-

го положения AB в положение AB . Концы A и B отрезка движутся соответственно в плоскостях α и β, параллельных горизонтальной плоскости проекций π1.

47

	π	Исходное	Вершина A
			перемещена
		положение	в новое
		отрезка AB	положение
	x		π
			x

а

б

		π
		Отрезок AB
	x	перемещен
		в новое
		положение
		в
		Рис. 5.10

Отметим, что при таком движении угол наклона ϕ1 отрезка к плоскости π1 сохраняется неизменным. Поэтому не изменяется и длина горизонтальной проекции отрезка,

т.е. A' B'= A' B' . Последнее свойство имеет важное значение, так как используя его, мы получаем возможность проецировать объект в удобном для решения задач положении.

На рис. 5.11 приведен комплексный чертеж, на котором выполнено плоскопараллельное перемещение отрезка AB, занимающего общее положение, в новое положение, параллельное фронтальной плоскости проекций. На этом чертеже сначала пе-

x

ремещается в новое положение, параллель-

ное оси x, горизонтальная проекция отрез-

ка, которая после перемещения получает

обозначение

'

' , причем A' B'=

'

' . За-

A

B

A

B

Рис. 5.11

тем по линиям связи строится новая фрон-

тальная проекция отрезка

A'' B'' .

После перемещения отрезка AB в положение AB он станет фронталью и его новая фронтальная проекция будет равна натуральной величине (НВ), т.е. A'' B''= AB . Соответственно угол ϕ1 наклона проекции A'' B'' к горизонтальной плоскости проекций будет равен углу наклона отрезка AB к той же плоскости (ϕ1 = ϕ). Отметим, что в данном случае новое положение горизонтальной проекции выбрано произвольно, а все точки фронтальной проекции отрезка движутся по горизонтальным прямым.

5.2.2.Плоскопараллельное перемещение плоскости

Вкачестве примера рассмотрим задачу о переводе плоскости треугольника ABC, занимающего общее положение, в положение плоскости уровня методом плоскопараллельного перемещения. Условие задачи и ее решение задачи показано на рис. 5.12.

48

B''		B''
A''	A''		B''
		A''
A'			B'
h'	h'	B'
B'	A'	A'	h'
	Рис. 5.12

При первом движении треугольник ABC переводится во фронтальное проецирующее положение. С этой целью в плоскости треугольника строится горизонталь A1, затем ее горизонтальная проекция A'1' перемещается в проецирующее положение (на свободном поле чертежа проводится

отрезок A'1' = A'1' перпендикулярно оси x). В

процессе перемещения размеры и форма горизонтальной проекции треугольника не

изменяются. Построение вершин С' и B' выполняется с помощью циркуля по засечкам.

Все вершины треугольника на фронтальной плоскости проекций перемещаются по горизонталям, пересечение которых с линиями связи, проведенными из соответствующих вершин новой горизонтальной проекции, образует вырожденную в прямую но-

вую фронтальную проекцию A'' B''C".

При втором движении все точки треугольника перемещаются в плоскостях, параллельных фронтальной плоскости проекций, в результате чего он займет положение горизон-

тальной плоскости уровня, а его вырожденная фронтальная проекция A" B"C" – положение горизонтали. Длина ее при этом сохранится неизменной. Горизонтальная проек-

ция A' B'C' треугольника ABC будет равна его натуральной величине.

5.3.Способ вращения вокруг проецирующей прямой

Кчастным случаям метода плоскопараллельного перемещения относятся метод вращения вокруг проецирующих прямых, а также метод вращения вокруг прямых уровня.

	5.3.1. Вращение точки вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекций
	Пусть точка А вращается вокруг оси, перпендикулярной к плоскости π1 (рис. 5.13).
			Через точку А проведена плоскость,
			перпендикулярная к оси вращения и, сле-
			довательно, параллельная плоскости π1.
	A		При вращении точка А описывает в плоско-
			сти α окружность радиуса R; величина ра-
			диуса выражается длиной	перпендикуля-
	x		ра, проведенного из точки А на ось. Ок-
			ружность, описанная в пространстве точкой
	A'	A'	А, проецируется на плоскость π1 без иска-
			жений. Так как плоскость	α перпендику-
			лярна к плоскости π2, то проекции точек
	Рис. 5.13		окружности на плоскости π2 расположатся
			на α″, т.е. на прямой, перпендикулярной к
			фронтальной проекции оси вращения.

49

x

A''	ϕ	i''
	A''
A'	A'	i'

Рис. 5.14

На рис. 5.14 показан поворот точки А против часовой стрелки на угол ϕ вокруг оси, проходящей через точку i перпендикулярно к плоскости π2.

Из точки i″, как из центра, проведена дуга радиуса i″A″, соответствующая углу ϕ и направлению вращения. Новое положение

фронтальной проекции точки А – точка A".

5.3.2. Вращение прямой вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекций

x

B''	i''	B''
A''	A''
B'	A'
	ϕ

B'

i'

A'

Рис. 5.15

Рассмотрим вращение отрезка прямой линии вокруг заданной оси. В общем случае выполняется поворот двух точек A и B на один и тот же заданный угол и по заданному направлению на одной из плоскостей проекций. Каждая точка будет иметь свой радиус вращения. Затем по линиям связи находится новое положение второй проекции отрезка.

Для решения задач, связанных с вращением отрезка прямой, используется следующий способ (рис. 5.15). Если ось вращения перпендикулярна плоскости π1, то через точку i' проводим перпендикуляр к A'B' в точку C' и поворачиваем его на заданный угол ϕ.

Проведя через точку C' (новое положение точки C') прямую, перпендикулярную к радиусу O'C', получаем направление нового положения горизонтальной проекции отрезка. Так как отрезки C'A' и C'B' не изменяют своей величины, то, откладывая от точки

C' отрезки C' A' = C' A' и C' B'=C' B' , находим новое положение A' B' проекции всего отрезка. Затем по линиям связи достраивается новая фронтальная проекция отрезка

A'' B'' .

Данным способом можно не только повернуть отрезок на заданный угол, но и определить угол, на который нужно повернуть заданный отрезок, чтобы придать ему требуемое положение (например, расположить параллельно плоскости π2 или найти точку пересечения с другой прямой и т. д.).

5.3.3. Вращение плоскости вокруг проецирующей прямой

При вращении плоскости, заданной следами, обычно поворачивают один из следов и горизонталь (или фронталь) плоскости. На следе берется произвольная точка и поворачивается вокруг оси на заданный угол ϕ. Новый след будет проходить через выбранную точку перпендикулярно отрезку, соединяющему эту точку с центром вращения. Второй след находится по новому положению горизонтали (фронтали).

5.4. Способ вращения точки, прямой, плоскости вокруг прямой уровня

Поворот плоской фигуры используется для определения ее натуральной величины. Например, чтобы определить форму и размеры плоской фигуры, ее можно повер-

50