Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Волк_Высшая математика.2010

.pdf
Скачиваний:
210
Добавлен:
26.03.2015
Размер:
2.48 Mб
Скачать

Учреждение образования «БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

А. М. Волк, В. В. Игнатенко

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Рекомендовано учебно-методическим объединением высших учебных заведений

Республики Беларусь по химико-технологическому образованию в качестве учебно-методического пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся заочно по специальностям 1-48 01 01 «Химическая технология неорганических веществ, материалов и изделий», 1-48 01 02 «Химическая технология

органических веществ, материалов и изделий», 1-48 02 01 «Биотехнология»

Минск 2010

УДК 51(075.4)

ББК 22я73

В67

Рецензенты:

доктор физ.-мат. наук, профессор, заведующий кафедрой методов оптимального управления БГУ

А. И. Калинин;

кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры высшей математики № 2 БНТУ

В. В. Карпук

Все права на данное издание защищены. Воспроизведение всей книги или ее части не может быть осуществлено без разрешения учреждения образования «Белорусский государственный технологический университет».

Волк, А. М.

В67 Высшая математика : учеб.-метод. пособие для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальностям 1-48 01 01 «Химическая технология неорганических веществ, материалов и изделий», 1-48 01 02 «Химическая технология органических веществ, материалов и изделий», 1-48 02 01 «Биотехнология» / А. М. Волк, В. В. Игнатенко. – Минск : БГТУ, 2010. – 197 с.

ISBN 978-985-530-002-2.

В учебно-методическом пособии приведена программа по высшей математике, изложены основные теоретические сведения по курсу высшей математики, представлены решения типовых задач с рекомендациями, контрольные задания, также содержится рекомендуемая литература и приложение.

Предназначено для студентов специальностей «Химическая технология неорганических веществ, материалов и изделий», «Химическая технология органических веществ, материалов и изделий» и «Биотехнология» заочной формы обучения, также может быть использовано для подготовки учащихся других специальностей.

УДК 51(075.4)

ББК 22я73

ISBN 978-985-530-002-2 © УО «Белорусский государственный технологический университет», 2010

© Волк А. М., Игнатенко В. В., 2010

2

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

ПРЕДИСЛОВИЕ ........................................................................

7

ПРОГРАММА КУРСА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»...................

8

Тема 1. Элементы линейной алгебры и аналитической

8

геометрии.........................................................................................

Тема 2. Введение в математический анализ................................

8

Тема 3. Дифференциальное исчисление функции

9

одной переменной...........................................................................

Тема 4. Исследование функций с помощью производных........

9

Тема 5. Неопределенный интеграл...............................................

10

Тема 6. Определенный интеграл, несобственные интегралы....

10

Тема 7. Обыкновенные дифференциальные уравнения.............

10

Тема 8. Функции нескольких переменных..................................

11

Тема 9. Ряды....................................................................................

12

Тема 10. Кратные интегралы.........................................................

12

Тема 11. Криволинейные и поверхностные интегралы

12

и теория поля...................................................................................

Тема 12. Теория вероятностей.......................................................

13

Тема 13. Элементы математической статистики.........................

14

1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ

15

ГЕОМЕТРИИ .............................................................................

1.1. Элементы линейной алгебры .................................................

15

1.2. Основные сведения из векторной алгебры...........................

18

1.3. Основные сведения из аналитической геометрии ...............

21

1.4. Полярная система координат.................................................

28

2. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.......................

38

2.1. Понятие предела функции и основные теоремы о пределах

38

2.2. Непрерывность функции ........................................................

42

3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ

47

ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ...........................................................

3.1. Производная. Правила вычисления производных. Таблица

47

производных....................................................................................

3.2. Логарифмическое дифференцирование................................

50

3.3. Производныефункций, заданныхнеявноипараметрически

51

3.4. Производные высших порядков.............................................

52

4. ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ

 

ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЮ ГРАФИКОВ............................

55

4.1. Возрастание и убывание функции.........................................

55

3

4.2. Экстремумы функции .............................................................

56

4.3. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

58

4.4. Асимптоты графика функции ................................................

58

4.5. Выпуклость и вогнутость графика функции........................

60

4.6. Общая схема исследования функции

 

и построения графика .............................................................

61

5. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ..........................................

67

5.1. Первообразная и неопределенный интеграл ........................

67

5.2. Вычисление неопределенного интеграла методом замены

68

переменной......................................................................................

5.3. Вычисление неопределенного интеграла методом

69

интегрирования по частям.............................................................

5.4. Интегрирование рациональных функций.............................

71

5.5. Интегрирование простейших иррациональностей...............

74

5.6. Интегрирование некоторых тригонометрических

75

функций ...................................................................................

6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ..............................................

77

6.1. Определенный интеграл и его свойства. Формула

77

Ньютона – Лейбница...............................................................

6.2. Вычисление определенного интеграла методом

78

интегрирования по частям и методом замены переменной.......

6.3. Применение определенного интеграла для вычисления

79

площадей плоских фигур...............................................................

6.4. Применение определенного интеграла для вычисления

82

длин дуг плоских кривых...............................................................

6.5. Применение определенного интеграла для вычисления

84

объемов тел вращения....................................................................

6.6. Несобственные интегралы......................................................

85

7. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

87

7.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения

 

1-го порядка. Решение дифференциальных уравнений

87

с разделяющимися переменными, однородных и линейных.....

7.2. Решение дифференциальных уравнений 2-го порядка,

90

допускающих понижение порядка ...............................................

7.3. Решение линейных дифференциальных уравнений

 

2-го порядка с постоянными коэффициентами

93

и специальной правой частью.......................................................

7.4. Решение систем дифференциальных уравнений..................

98

4

8. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ..........................

100

8.1. Частные производные функции двух переменных..............

100

8.2. Экстремум функции двух переменных.................................

101

9. ÐßÄÛ.....................................................................................

103

9.1. Числовые ряды.........................................................................

103

9.2. Степенные ряды.......................................................................

108

9.3. Ряды Тейлора и Маклорена....................................................

111

10. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.......................................................

114

10.1. Двойные интегралы, их вычисление в декартовой

114

и полярной системах координатах................................................

10.2. Тройные интегралы, их вычисление в декартовых

 

и цилиндрических системах координат.......................................

118

10.3. Криволинейные интегралы...................................................

121

11. ТЕОРИЯ ПОЛЯ ...................................................................

124

11.1. Скалярное поле......................................................................

124

11.2. Векторное поле......................................................................

126

12. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ..................................................

130

12.1. Случайные события и их классификация...........................

130

12.2. Классическое определение вероятности. Свойства

132

вероятности.....................................................................................

12.3. Элементы комбинаторики....................................................

132

12.4. Основные теоремы вероятностей случайных событий.....

134

12.5. Схема испытаний Бернулли.................................................

138

12.6. Случайные величины............................................................

140

12.7. Числовые характеристики случайных величин...............

144

12.8. Некоторые законы распределения случайных величин

148

13. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ...................................

152

13.1. Статистический ряд и его описание....................................

152

13.2. Статистическая оценка параметров распределения ..........

153

13.3. Эмпирические зависимости. Метод наименьших

159

квадратов.........................................................................................

ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ...................................

163

Тема 1. Элементы линейной алгебры, векторной алгебры

163

и аналитической геометрии...........................................................

Тема 2. Предел и непрерывность функции..................................

165

Тема 3. Производная и ее вычисление.........................................

167

5

Тема 4. Исследование функций и построение графиков............

169

Тема 5. Неопределенный интеграл и его вычисление................

170

Тема 6.

Определенный интеграл и его применение....................

172

Тема 7.

Обыкновенные дифференциальные уравнения.............

173

Тема 8.

Функции нескольких переменных..................................

176

Тема 9.

Числовые и степенные ряды............................................

178

Тема 10.

Кратные и криволинейные интегралы,

180

их применение.................................................................................

Тема 12.

Теория вероятностей.......................................................

183

Тема 13.

Математическая статистика...........................................

189

ПРИЛОЖЕНИЕ 1......................................................................

192

ПРИЛОЖЕНИЕ 2......................................................................

193

ПРИЛОЖЕНИЕ 3......................................................................

195

ЛИТЕРАТУРА......................................................................................

196

6

ПРЕДИСЛОВИЕ

Учебно-методическое пособие по дисциплине «Высшая математика» предназначено для выполнения контрольных работ и подготовки к экзаменам студентами химико-технологических специальностей заочной формы обучения, для которых типовыми учебными планами предусмотрено изучение курса высшей математики в объеме

524–570 часов.

Данное учебное издание также может быть использовано для подготовки учащихся других специальностей.

Издание полностью соответствует образовательному стандарту и программе дисциплины, содержит программу, изложение теоретических вопросов программы, решение типовых задач с подробными пояснениями и рекомендациями, контрольные задания по 13-ти основным разделам высшей математики, приложение и список рекомендуемой литературы.

По каждой теме в теоретическом разделе приведены основные понятия и определения, теоремы и формулы, необходимые для выполнения контрольных работ. Затем даны образцы решения задач, аналогичных задачам контрольных работ.

Структура учебно-методического пособия позволит студенту самостоятельно проработать материал и выполнить контрольные работы, не прибегая к посторонней помощи.

Содержание издания служит рационализации учебного процесса, дает возможность студентам самостоятельно усваивать учебный материал, способствует повышению качества подготовки специалистов в высших учебных заведениях.

Предлагаемый материал излагается в логической последовательности, что позволяет при изучении определенной темы использовать усвоенные знания по предыдущим разделам. Работа написана ясным математическим языком. Удачно сочетается строгость изложения и доступность материала. Многие примеры для наглядности иллюстрируются рисунками.

В процессе подготовки к выполнению контрольной работы рекомендуется изучить теоретические сведения, разобраться с решениями предложенных типовых задач, решить несколько аналогичных задач, ответы на которые известны, и только после этого переходить к выполнению контрольной работы.

7

ПРОГРАММА КУРСА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

Тема 1. Элементы линейной алгебры

ианалитической геометрии

1.Матрицы. Действия над матрицами. Ранг матрицы. Обратная матрица.

2.Определители второго и третьего порядков, их свойства и вычисление. Определители n-го порядка.

3.Обратная матрица. Ранг матрицы.

4.Системы линейных уравнений. Матричная форма записи. Совместность и несовместность систем. Теорема Кронекера – Капелли. Решение систем методами Крамера, Гаусса и обратной матрицы.

5.Векторы. Линейные операции над векторами и их свойства.

6.Проекция вектора на ось. Прямоугольная система координат в пространстве. Ортонормированная тройка векторов. Координаты вектора. Направляющие косинусы и длина вектора. Линейные операции над векторами в координатной форме.

7.Линейно независимые системы векторов. Базис. Ортонормированный базис. Разложение вектора по базису.

8.Скалярное произведение векторов и его свойства.

9.Векторное произведение двух векторов и его свойства. Вычисление площади треугольника, построенного на двух векторах.

10.Смешанное произведение векторов и его свойства. Вычисление объема пирамиды, построенной на трех векторах.

11.Взаимное расположение векторов: перпендикулярность, параллельность, компланарность, угол между векторами.

12.Декартовая и полярная системы координат на плоскости. Уравнение линий на плоскости.

13.Различные формы уравнения прямой на плоскости. Расстояние от точки до прямой. Взаимное расположение прямых на плоскости.

14.Кривые 2-го порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола.

15.Уравнение плоскости и прямой в пространстве. Расстояние от точки до плоскости. Взаимное расположение плоскостей, прямых, прямой и плоскости.

Тема 2. Введение в математический анализ

1. Множества и функции. Области определения и изменения функции. Способы задания. Классификация функций. Основные

8

элементарные функции. Сложная функция. Функции, заданные параметрически и неявно.

2.Окрестность конечной и бесконечно удаленной точки. Конечный и бесконечный пределы функции. Односторонние пределы.

3.Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства.

4.Основные теоремы о пределах. Раскрытие неопределенностей.

5.Определение касательной к графику функции. Число e. Натуральные логарифмы. Первый и второй замечательные пределы.

6.Сравнение бесконечно малых величин. Эквивалентные бесконечно малые. Использование эквивалентных бесконечно малых при вычислении пределов.

7.Непрерывность функции в точке и на отрезке. Критерий непрерывности функции в точке. Точки разрыва и их классификация. Основные теоремы о непрерывных функциях.

Тема 3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

1.Производная функции, ее геометрический и механический смысл. Дифференцируемость и непрерывность.

2.Основные правила дифференцирования. Производная сложной

иобратной функций.

3.Производные основных элементарных функций. Логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование функций, заданных параметрически и неявно.

4.Дифференциал функции и его геометрический смысл. Основные свойства дифференциала. Инвариантность формы первого дифференциала. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.

5.Производные и дифференциалы высших порядков.

6.Основные теоремы о дифференцируемых функциях (Ролля, Коши, Лагранжа). Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей.

Тема 4. Исследование функций с помощью производных

1.Возрастание и убывание функции. Необходимые и достаточные условия возрастания и убывания дифференцируемой функции.

2.Понятие о локальном экстремуме функции. Необходимые условия экстремума дифференцируемой и непрерывной функций.

9

3.Достаточные условия экстремума по первой и второй производной. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функций на замкнутом промежутке.

4.Асимптоты графика функции. Вертикальные и наклонные асимптоты и их нахождение.

5.Выпуклые и вогнутые функции. Достаточные условия выпуклости и вогнутости функций. Точки перегиба.

6.Общая схема исследования функции и построение ее графика.

Тема 5. Неопределенный интеграл

1.Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица неопределенных интегралов.

2.Методы нахождения неопределенных интегралов: интегрирование по частям и заменой переменной.

3.Интегрирование рациональных функций.

4.Интегрирование простейших иррациональных функций и тригонометрических выражений.

Тема 6. Определенный интеграл, несобственные интегралы

1.Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла (о площади криволинейной трапеции, о нахождении пути, пройденного материальной точкой). Определенный интеграл и его основные свойства.

2.Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона – Лейбница.

3.Замена переменной в определенном интеграле.

4.Интегрирование по частям в определенном интеграле.

5.Приложение определенных интегралов к вычислению площадей плоских фигур, длин дуг кривых, объемов тел и площадей поверхностей вращения. Физические приложения определенного интеграла.

6.Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Несобственные интегралы от неограниченных функций. Абсолютная и условная сходимость. Признаки сходимости.

Тема 7. Обыкновенные дифференциальные уравнения

1.Дифференциальныеуравнения. Основныепонятияиопределения.

2.Дифференциальные уравнения первого порядка (решение, общее решение, начальные условия, частное решение). Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

10

Соседние файлы в предмете Высшая математика